1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験


材料力学/問題3 専門科目 機械部門/ これだけ項目集 1

1技術士 3専門 機械  H30-01  H26-01
力学的性質を評価する試験

 ・S-N線図 : 疲労限度試験、ビッカース試験
 ・縦弾性係数 : 引張試験
 ・延性-ぜい性遷移温度 : クリープ試験
 ・降伏点 : 引張試験
 ・硬さ : ビッカース硬さ試験、ブリネル硬さ試験、ロックウェル硬さ試験

1技術士 3専門 機械  H29-01  H27-01  H25-09  H23-10
法則、理論、定理

 ・応力集中係数 : 応力集中部の最大応力/公称応力(σmax/σn)
 ・降伏応力、相当応力: ミゼースの条件
 ・縦弾性係数、ヤング率: フックの法則
 ・座屈荷重 : オイラーの理論
 ・主応力 : モールの応力円
 ・せん断応力 : 共役
 ・応力拡大係数 : 破壊じん性
 ・断面係数 : 曲げに対する剛性・抵抗力

1技術士 3専門 機械  H28-01  H26-02
材料の強度設計

・許容応力は、部材に作用することを許す最大の応力である。
・安全率は、材料、荷重条件、使用環境などの因子を考慮して決定する。
・基準強さは、材料、荷重条件、使用環境などの因子を考慮して決定する。
・許容応力に安全率を乗じた値は、基準強さに等しい。
・使用応力は、基準強さより小さい。

1技術士 3専門 機械  H27-02
仮想断面の垂直応力とせん断応力

 下図に示すように、一様な断面積 A の棒に軸方向の引張荷重 P が作用するとき、棒の軸方向に対して面法線が θ の角度を持った仮想断面を考える。この仮想断面における垂直応力 σ とせん断応力 τ を求める。
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解答:

仮想断面の面積を A′とすれば、A′=A/cosθ である。
仮想断面に垂直に作用する力を P1、斜面方向の力を P2とすれば、
P1=P・cosθ、P2=P・sinθであるから、
σ=P1/A′=P/A・cos^2θ、
τ=P2/A′=P/A・cosθsinθとなる。

1技術士 3専門 機械  H25-05
片持梁の最大曲げ応力

 材質と長さが同一である2本の長方形断面の片持ちはり A (高さ h 、幅 2b )と片持ちはり B (高さ 2h 、幅 b )の先端に、同一の荷重 W が作用している。片持ちはり A と B のそれぞれに生じる最大曲げ応力 σA と σB の比 σA/σB を求める。
なお、高さ h 、幅 b の長方形断面はりの断面二次モーメントは b・h^3/12 である。

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解答:

モーメント M を受ける断面係数 Z のはりの最大曲げ応力は、σmax=M/Zである。
図から、Mmax=W l/2 であるから、σmax=W・l/Z となる。
それぞれの梁の断面係数は、
ZA = 1/6 2b h^2 = bh^2/3
ZB = 1/6 b (2h)^2 = 2bh^2/3
よって、σA/σB = ZB/ZA = 2 である。

1技術士 3専門 機械  H30-02  H21-02
両端固定梁の応力

 下図に示すように、一様断面の長さ l の棒の両端が剛体壁で無理なく固定されている。このとき棒に応力は発生していない。棒の断面積を A、縦弾性係数を E とする。棒の C点に右向きの軸力 P を作用させたとき、BC間に生じる応力 σBC と CD 間に生じる応力 σCD を求める。

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解答:

BC間の反力RBC、CD間の反力RCD 、BCの伸びδBC、CD間の伸びδCDとすると、
δBC=RBC×a/AE、δCD=RCD×b/AEとなる。
δBC=-δCD、RBC=-RCDより、RBCとRCDが求まる。
σBC=RBC/A、σCD=RCD/Aから答えが求められる。
したがって、σBC=Pb/Al , σCD=-Pa/Al である。

材料力学の典型的な問題と解答例PartⅠ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_1.htm

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅧ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_8.htm

1技術士 3専門 機械  H29-04  H24-04
温度上昇で棒に発生する応力

 下図に示すように、長さが l の棒1と棒2が接合され、剛体壁に取り付けられている。棒1と棒2の縦弾性係数を E1、E2、断面積を A1、A2、線膨張係数を α1、α2 とする。棒の温度を微小量 ΔT だけ上昇させたとき、棒1に発生する応力 σ1 を求める。

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解答:

棒1、棒2の温度変化による歪をε1′,ε2′とすると、
ε1′=α1ΔT,ε2′=α2ΔT
壁からの反力をRとして棒1と棒2の歪を、ε1″,ε2″とすると、
ε1″=-4R/πd1^2E1=-R/A1E1,ε1″=-R/A2E2
棒1と棒2の歪ε1,ε2 は、ε1=ε1′+ε1″、ε2=ε2′+ε2″
棒1と棒2の伸びは、λ1=ε1l1,λ1=ε2l2 となり、λ
1+λ2=0より、Rが求められ、σ1=-R/A1から、答えを得る。
σ1=-(α1+α2)・A2・E1・E2 / (A1・E1+A2・E2)・ΔT

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅢ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_3.htm

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅤ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_5.htm

1技術士 3専門 機械  H27-04  H23-03
温度上昇2回で棒に生じる熱応力

 下図に示すように、長さ l の一様断面の棒の一端を剛体壁( A 点)に固定した。他端( B 点)と剛体壁( C 点)の間には、平行な隙間 δ ( δ

解答:

棒がΔT1でδ伸びるから、δ=αl ΔT1である。よって、ΔT1=δ/αl
温度ΔT1からΔT2への上昇による熱応力は、σ=-Eα(ΔT2-ΔT1)である。
ΔT1=δ/αl
σ=-Eα(ΔT2-ΔT1)

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅦ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_7.htm

1技術士 3専門 機械  H27-03
段付き丸棒の弾性ひずみエネルギー

 下図に示すように、段付き丸棒の上端を天井(A点)に固定して鉛直につり下げた状態で、下端(B点)に軸荷重 P が作用するときに、段付き丸棒に蓄えられる弾性ひずみエネルギー U を求める。
ただし、太い丸棒の直径を 2d 、長さを l 、縦弾性係数を E 、細い丸棒の直径を d 、長さを l 、縦弾性係数を E とする。なお、段付き丸棒の自重は、考慮しないものとする。

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解答:

U=Pδ/2、δ=Pl/AEであるから、
弾性ひずみエネルギーは、U=2P^2/(πd^2E) となる。
棒Aの弾性ひずみエネルギーは、UA=P^2l/(2πd^2E)、
棒Bの弾性ひずみエネルギーは、UB=4P^2l/(2πd^2E)
したがって、全体の弾性ひずみエネルギーは、
U = UA+UB = 5P^2・l/2πd^2・E である。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅥ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_6.htm

1技術士 3専門 機械  H25-01  H23-04
自重による段付棒全体の伸び

 下図に示すように、段付棒の上端を固定して鉛直に吊り下げている。自重によって生じる段付棒全体の伸びを求める。
なお、段付棒の各部分の長さを l1 と l2 、断面積を A1 と A2 とし、棒の材料の密度を ρ、縦弾性係数を E、重力加速度を g とする。

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解答:

棒先端から x にある幅 dx の微小体を考える。
微小体に作用する重量は、Wx=ρg・xA2 であるから、
重量による伸びは、dδ2=ρg・x・A2・dx/A2・E=ρg・x・dx/E となるので、
断面積A2の棒の伸びは、δ2=∫(0→l2)dδ2=ρg・l2^2/2E

断面積A1の棒では、A1下端面に働く重力は、W2=ρg・l2・A2である。
A1下端面から x にある幅 dx の微小体を考える。
dx に作用する力は、Wx=ρg・x・A1+W2となり、
この力による伸びは、dδ1=(ρg x A1+W2)dx/A1 Eとなる。
断面積A1の棒の伸びは、
δ1=∫(0→l1)dδ1=ρg l1^2/2E+ρg l2 A2 l1/A1 E
=ρg・l1^2/2E+ρg・l2・A2・l1/A1・E

よって、棒全体の伸びは、δ=δ1+δ2
= ρg・A2・l1・l2/A1・E + ρg(l1^2+l2^2)/2E である。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅤ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_5.htm

1技術士 3専門 機械  H28-02
つり下げ棒の自重と軸荷重による応力

 下図に示すように、天井から鉛直につり下げられた棒(長さl、密度ρ)の底面(B点)に軸荷重 P を作用させたとき、自重と軸荷重 P によって棒に生じる応力が全長にわたって σ0 になるように横断面積を変化させる。このとき、上端(A部)における棒の横断面積を求める。ただし、g は重力加速度とし、e は自然対数の底とする。

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解答:

底面から x 上方の面積 A、微小距離 dx 離れた部位の面積 dA として、
力の平衡を考えると、A・σ0+ρg・A・dx = σ0(A+dA) となる。
これを底面の面積を A0 として、0~x まで積分すれば、
ρg・x = ln(A/A0) となる。
よって、A=A0 e^(ρg・x)、ここで、σ0=P/A0 から、A=(P/σ0)e^(ρg・x) となる。
x=l とすれば、A部の横断面積は、(P/σ0)e^(ρg l/σ0) である。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅤ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_5.htm

1技術士 3専門 機械  H29-02  H21-01
引張応力と伸び量

 一辺の長さ a=4[cm] の正方形断面で長さ l=2[m] の軟鋼棒の軸方向に引張荷重 P=336[kN] を加えた。このとき、軟鋼棒に発生する引張応力σ と伸び量δ を求める。
なお、縦弾性係数(ヤング率)を E=210[GPa] とする。

解答:

引張応力 σ= P/A = 336,000[N] / 40mm×40mm = 210 [MPa]
ヤング率の公式 E=Pl/Aδ を変形して、
伸び量 δ= Pl/Aδ = 336[kN]×2,000mm/(40mm×40mm×210[GPa])= 2mm

引張荷重・圧縮荷重がかかったときの伸び・縮みを求める演習問題〔参考ページ〕
https://materialmechanics.work/archives/325

1技術士 3専門 機械  H24-02  H20-02
段付き棒の引張荷重による伸び

 下図のように円形断面の段付き棒に引張荷重 P が作用するとき、棒の全長の伸びを求める。
ただし、棒の縦弾性係数を E、細い棒の直径を d、断面積を A、長さを 2l、また、太い棒の直径を 2d、長さを l とする。

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解答:

細い棒の伸び δ1 は、δ1=P・2l/AE である。
太い棒の断面積は 4A となり、伸び δ2 は、δ2=Pl/4AE である。
したがって、全長の伸び δ は、
δ = δ1+δ2 = P・2l/AE+Pl/4AE = 9Pl/4EA である。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅦ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_7.htm

1技術士 3専門 機械  H26-03  H24-01
自重により破断しない最大長

 直径 d の丸棒の上端を固定して鉛直に吊り下げるとき、自重によって丸棒が破断しない最大の長さを求める。ただし、丸棒は引張応力が引張強さ σB に達したときに破断するとし、丸棒の密度を ρ 、重力加速度を g とする。

解答:

部材の最大の応力点は先端から上端固定の長さ l の所であり、
σmax = πd^(2/4)・l・ρg/πd^(2/4) = ρg・l となる。
σmax<σB であるため、ρg l<σB から、l<σB/ρg となる。
したがって、丸棒が破断しない最長の長さ=σB/ρg である。

(別解:)
下端よりxの位置の応力は、σ=(Ax・ρg)/A=ρg・x となり、
x=l で最大応力となる。
σmax=ρg・lであり、σmax=σBで破断するから、
丸棒が破断しない最長の長さは、l=σB/ρg である。

1技術士 3専門 機械  H30-04
鋼板に生じる熱応力

 下図に示すように、2枚の鋼板の間に銅板を接着した。このとき積層板に応力は発生していない。鋼板と銅板それぞれの横断面積を As、Ac、縦弾性係数を Es、Ec、線膨張係数を αs、αc とし、αs<αc とする。積層板の温度を ΔT だけ上昇させたとき、鋼板に生じる熱応力 σs と銅板に生じる熱応力 σc を求める。

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解答:

鋼板の軸力Ps、銅板の軸力Pcとすると、2Ps+Pc=0
鋼板、銅板の歪εs、εc、鋼板と銅板の変位量λs、λcとすると、
λs=εs×l=αs×ΔT×l+Ps×l/(As×Es)、
λc=εc×l=αc×ΔT×l+Pc×l/(Ac×Ec)となる。
λs=λcと2Ps+Pc=0 から、
Ps=As・Ac・Es・Ec(αc-αs)ΔT/(2Es・As+Ec・Ac)、
Pc=(-2As・Ac・Es・Ec(αc-αs)ΔT)/(2Es・As+Ec・Ac)となり、
σs=Ps/As、σc=Pc/Acが求められる。
σs=(αc-αs)・Ec・Es・Ac/(2Es・As+Ec・Ac)・ΔT
σc=2(αc-αs)・Ec・Es・As/(2Es・As+Ec・Ac)・ΔT

1技術士 3専門 機械  H28-07
温度上昇による円柱と円筒の伸び量

 下図に示すように、円柱(長さ l 、断面積 A1 縦弾性係数 E1 、線膨張係数 α1 )と円筒(長さ l 、断面積 A2 、縦弾性係数 E2 、線膨張係数 α2 )を同軸で組合せて、両端を剛体板で接合している。円柱と円筒の両方に応力が生じていない状態から、温度が ΔT だけ上昇したとき、円柱と円筒の伸び量 Δl を求める。
ただし、 α1<α2 とし、円柱と円筒の半径方向の変形は無視できるものとする。

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解答:

温度上昇により円柱が伸びるが、円筒の伸びが円柱の伸び量より少なければ、
その差分伸びることとなり、このとき発生する応力σ1は、
(A2E1E2/(A1E1+A2E2))(α1-α2)ΔTl
円筒の伸び量は、温度上昇による伸びと、応力による伸びの和であるから、
Δl=l(α1ΔT+σ1/E1)である。
この式にσ1を代入して、展開すれば、解答が得られる。
Δl = (A1・E1・α1+A2・E2・α2)/(A1・E1+A2・E2)・lΔT

建築学科のための材料力学 〔参考ページ〕
https://materialmechanics.work/archives/502

1技術士 3専門 機械  H25-02
温度上昇による円柱と円筒の熱応力

 下図に示すように、円柱(直径 d0、縦弾性係数 E0、線膨張係数 α0 )と円筒(外径 D1、内径 d1、縦弾性係数 E1、線膨張係数 α1 )を同軸で組み合わせて、両端を剛体板で接合している。円柱と円筒の両方に応力が生じていない状態から温度が ΔT だけ上昇したときに、円柱に生じる熱応力を求める。ただし、d0<d1、α0<α1 であるとし、円柱と円筒の半径方向の変形は無視できるものとする。

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解答:

円柱に働く応力、円筒に働く応力をそれぞれσ0,σ1とする。
円柱、円筒の伸びが等しいことから、l(α0 T+σ0/E0)=l(α1 T+σ1/E1)となり、
E1σ0-E0σ1=E0E1(α1-α0) Tである。
力のつり合いから、A0σ0+A1σ1=0である。
よって、σ0=A1E0E1/(A0E0+A1E1)・(α1-α0)T
ここで、A0=π/4d0^2、A1=π/4(D1^2-d1^2)、T=ΔTとして、
σ0=((D1^2-d1^2)E0E1/(d0^2E0+(D1^2-d1^2)E1))(α1-α2)ΔT

したがって、円柱に生じる熱応力は、
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熱応力 〔参考ページ〕
http://da.ms.t.kanazawa-u.ac.jp/lab/hojo/zairiki/text/04nonstatic/thermalstress.htm

材料力学/問題3 専門科目 機械部門/ これだけ項目集 2

1技術士 3専門 機械  H30-03  H24-05
棒に負荷される軸方向の荷重

 下図に示すように、3本の棒からなるトラス構造において、節点 A に下向きの荷重 P が作用している。節点 B は回転支点、節点 C は移動支点である。各節点は滑節であり、棒1、2、3には部材軸方向の荷重のみが作用する。棒の自重は無視できるものとするとき、棒1と棒3に負荷される軸方向の荷重 P1 、 P3 を求める。
ただし、引張荷重を正、圧縮荷重を負とする。

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解答:

節点B、Cには、垂直方向の反力、R=P/2が働く。
Bから棒1方向には圧縮力P1が働き、棒3方向には引張力P3が働く。
節点Bにおいて力のつり合いから、
P3+P1 cos45°=0、P1 sin45°+R=0
P1 =-R/sin45°= -P/√2
P3 =-P1 cos45°= P/2

材料力学の典型的な問題と解答例PartⅠ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_1.htm

1技術士 3専門 機械  H29-03
角度をなす棒に生じる軸力

 下図に示すように、3本の棒 AD 、 BD 、 CD からなるトラス構造において、棒 BD はヤング率 E1 、断面積 A1 、長さ l1 、棒 AD と CD は同じヤング率 E2 、同じ断面積 A2 、同じ長さ l2 であり、左右対称である。また、棒 AD と棒 BD のなす角度と棒 CD と棒 BD のなす角度は共に θ である。 D 点に下向きの力 P が作用するとき、棒 BD に生じる軸力 T1 と棒 AD 、 CD に生じる軸力 T2 を求める。

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解答:

BDの軸力をT1、AD,CDの軸力をT2とすると、2T2cosθ+T1=P
AD,BDの伸びをδ1,δ2とすると、δ1=δ2cosθ,
δ1=T1/A1E1,δ2=T2/A2E2
以上から、T1,T2の式を得る。
T1=P/(1+2cos^3・θ(A2・E2/A1・E1))、
T2=Pcos^2・θ/((A1・E1/A2・E2)+2cos^3・θ)

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅥ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_6.htm

1技術士 3専門 機械  H30-05  H26-05
単純支持梁の曲げモーメント

 下図に示すように、一様断面の長さ l の単純支持はりに支点 A から a(0?a

解答:
A点、B点の抗力をRA、RBとすると、RA+RB=P、RA×a=RB×bから、
RA=P×b/l、RB=P×a/l
B点からl/2の距離にあるモーメントは、
RB×l/2=P×a/l×l/2=P×a/2
よって、発生する曲げモーメントは、Pa/2 である。

(別解:)
はりの左端からxの点を考える。
左端支持の反力をR1、右端支持の反力をR2とすれば、R1=Pb/l、R2=Pa/lとなる。
ここでbは荷重点と右端支点間の長さである。
x<aでは、モーメントM=R1x=Pbx/l
x>aでは、M=Pbx-P(x-a)=Pa(l-x)/l
x=l/2での応力は、M=Pa(l-l/2)/l=Pa/2

1技術士 3専門 機械  H28-04  H25-06
単純支持梁の最大たわみ

 下図に示すように、長さ l の単純支持はりの中央( A 点)に集中荷重 P が作用している。はりの最大たわみを求める。なお、はりの曲げ剛性を EI とする。

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解答:

x≧l/2では、変位yは、
y=(P (l/2)x/(6lEI))×(l^2-l^2/4-x^2)=(Px/12EI)×(3l^2/4-x^2)、
x≦l/2では、y=(Pl/12EI)×(3l^2/4-x^2)+(P(x-l/2)^3)/6EI
x=l/2 での 最大たわみは、Pl^3/48EI となる。

1技術士 3専門 機械  H27-06  H24-06
集中荷重が作用する梁の最大曲げ応力

 下図に示すように、長さ 4l 、一辺の長さ h の正方形断面のはりに A 点から l 、 B 点から l の2か所の位置( C 点、 D 点)に集中荷重 P が作用している。はりの中央(端から 2l の位置)に発生する最大曲げ応力 σmax を求める。

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解答:

はりの断面係数Zは、Z=h^3/6である。
モーメントMが作用するときの最大応力は、σmax=M/Zである。
A点より、l<x<l+2lの位置のモーメントは、
Aでの反力をRAとして、Mx=RA(l+2l)-P・2lである。
RAはモーメントの釣り合いから、RA=(P(l+2l)+Pl)/4l=P でり、Mx=Plとなる。
σmax=P l/(h^3/6)=6Pl/h^3

1技術士 3専門 機械  H29-05
梁の最大曲げモーメント、等分布荷重

 下図に示すように、一様断面の長さ l の単純支持はりに等分布荷重 w が作用している。はりの最大曲げモーメント Mmax を求める。

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解答:

両端の反力をR1,R2とすれば、R1=R2=wl/2
端からxの地点のモーメントは、Mx=R1x-wx^2/2から、M=(wx/2)(l-x)
xl/2でモーメントは最大であることから、
最大曲げモーメントは、Mmax=wl^2/8 となる。

1技術士 3専門 機械  H26-07
単純支持と固定支持の反力

 下図に示すように、一端 A が単純支持され、もう一端 B が固定されたはり(長さ L 、曲げ剛性 EI )の点 C (点 A からの距離 a の位置)に集中荷重 P が作用するとき、点 A における支持反力を R (図中上向きを正)とおけば、はり全体に蓄えられるひずみエネルギー U は、
U = 1/6EI・[L^3・R^2-(L-a)^2・(2L+a)・PR+(L-a)^3・P^2] で表せる。
点 A における支持反力 R を求める。

6017500cd37180ea8c5960c966507270 300x137 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

最小仕事の定理から、ひずみエネルギーUをRで偏微分したとき、0 となる。
よって、∂U/∂R=1/6EI (2l^3R-(l-a)^2(2l+a)P)=0
これを解いけば支持反力は、R = ((L-a)^2・(2L+a))/2L^3・P である。

1技術士 3専門 機械  H30-06
集中荷重と等分布荷重のたわみ

 曲げ剛性 EI 、長さ l の片持ちはりに対して、下図(a)に示すように自由端 A に集中荷重 P が作用するときの自由端 A のたわみと、下図(b)に示すように等分布荷重 q が作用するときの自由端 A のたわみが等しいとき、Pとqの関係を表す式を求めよ。

7d9b36b846f213101ef4fcc1ff232cc3 2 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

a図、b図のたわみ量を、δa、δbとする。
δa=Pl^3/3EI、δb=q・l^4/8EI
δa=δb から、P = 3/8×q・l

1技術士 3専門 機械  H28-03  H26-06  H23-06  H20-04
集中荷重と等分布荷重の曲げ応力

 長さ l の片持ちはりに対して、下図(a)のように先端(自由端、A点)に集中荷重 P を作用させる場合と、下図(b)のように等分布荷重 q を作用させる場合を考える。集中荷重 P が作用するときと等分布荷重 q が作用するときの最大曲げ応力が等しいとき、P と q の関係式を求める。

62bb7618d1ddaafcc7ed288770dbd1f3 1 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

図(a)の最大モーメントは、Mmax=P・l
図(b)の最大モーメントは、Mmax=q・l^2/2。
曲げ応力は、最大モーメントと比例するため、Pl=q・l^2/2から、
P = q・l/2

1技術士 3専門 機械  H29-06  H25-04  H22-02
片持梁、集中荷重と等分布荷重

 下図に示すように、一様断面の長さ l の片持ちはりに、集中荷重及び等分布荷重のいずれか一方、若しくは両方が作用している。図中の P は集中荷重、w は等分布荷重を表し、P と w の間には P=wl の関係がある。このとき、固定端( A点)における反力の大きさが P となり、曲げモーメントの大きさが 3/4・Pl となる片持ちはりの荷重のかけ方として、最も適切なものはどれか。
ただし、反力と曲げモーメントの正負は問わない。

124334c115f0f1d7b34a2085f1b966ad 1 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

P=wlであるから、モーメント 3/4・Pl は、3/4・wl^2 である。
それぞれのモーメントを求めて比較する。
①のA点におけるモーメント:wl
②のA点におけるモーメント:1/2・wl^2
③のA点におけるモーメント:3/4・wl^2
④のA点におけるモーメント:7/8・wl^2
⑤のA点におけるモーメント:5/8・wl^2
したがって、③の荷重のかけ方が正しい。

1技術士 3専門 機械  H27-05
片持梁の最大たわみ

 下図に示すように、長さlの片持ちはりの先端(自由端、A点)に集中荷重 P が作用している。はりの最大たわみ ymax を求める。なお、はりの曲げ剛性を EI とする。

8fbee7a11eb7e91d83c2305752ca3efe 300x155 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

荷重点よりxの所では、EId^2y/dx^2=Pxであるので、
y=(P/6EI)・(x^3-3l^2x+2l^3)となる。
x=0で y は最大となるから、ymax=P・l^3/3EI である。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅡ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_2.htm

材料力学/問題3 専門科目 機械部門/ これだけ項目集 3

1技術士 3専門 機械  H30-07
ねじりモーメントとせん断応力

 下図に示すように、同一材質、同一長さで、外形寸法が等しく断面積比が 2:1 の中実丸棒 A と中空丸棒 B の一端が剛体壁に固定され、他端に等しいねじりモーメント T が作用しているとき、中実丸棒 A に生じる最大せん断応力 τa と中空丸棒 B に生じる最大せん断応力 τb の比 τb/τa に最も近い値を求める。

53b03d44737b5921f1340aa6a0f8538b 300x245 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

丸棒Aの最大せん断応力をτa、丸棒Aの最大せん断応力をτb とすると、
τb=16T/(πd2^3)
τa=16T/(πd2^3(1-n^4))
n=d1/d2=1/√2
したがって、τb/τa = 1/(1-n^4) = 4/3

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅢ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_3.htm

1技術士 3専門 機械  H24-03  H23-05
ねじりモーメントとねじれ角の比

 直径が d と 2d の、同じ材質で作られた長さが等しい中実丸軸がある。それらに同じ大きさのねじりモーメントを作用させる。それぞれの軸のねじれ角を φA 、 φB とするとき、それらの比 φA:φB を求める。
ここで、必要があれば直径 d の中実丸軸の断面二次極モーメント Ip=π・d^4/32 、極断面係数 Zp=π・d^3/16 の関係を用いよ。

解答:

ねじりモーメントによるトルクをTとすると、
φA=T/G・Ip=(T/G)・32/πd^4
φB=(T/G)・32/π(2d)^4
よって、φA:φB = 1:1/16 = 16:1 となる。

1技術士 3専門 機械  H27-07  H25-03
ねじりモーメントの比

 下図に示すように、同一材質の丸棒 A (直径 d 、長さ l )と丸棒 B (直径 3d 、長さ 3l )の一端が剛体壁に固定され、他端にねじりモーメント TA と TB がそれぞれ作用しているとき、丸棒 A と丸棒 B の両端間のねじれ角が等しくなった。このとき、ねじりモーメントの比 TA/TB を求める。
なお、直径 d の丸棒の断面二次モーメントは πd^4/64 、断面二次極モーメントは πd^4/32 、断面係数は πd^3/32 、極断面係数は πd^3/16 である。

3eb5a458ae3952be32d2cc1d7a7f521c 300x251 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

ねじり角 φは、φ=(T/G)×(32・l/πd^4) より、
φA=32TA・l/(πGd^4)
φB=32TB・l/(πG(8/d^4))
φA=φBであるから、TA/TB = 1/27 となる。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅢ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_3.htm

1技術士 3専門 機械  H28-05
両端固定のねじりモーメントとねじれ角

 下図に示すように、丸棒(長さ l 、せん断弾性係数 G 、断面二次極モーメント Ip )の両端を剛体壁に固定し、Aの箇所にねじりモーメント T を作用させた。Aの箇所のねじれ角を求める。

0d9242841adc512bd9035bb8a091f508 300x160 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

図の左側で発生するトルクをTA、右側をTBとすると、
A点におけるトルクTは、T=TA+TBとなる。
左右のねじれ角φは同じなので、
φ=TA・a/G・IP=TA・b/G・IP である。
TA=b/(a+b)・Tから、φ = ab/(a+b)・T/GIp

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅤ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_5.htm

1技術士 3専門 機械  H29-07  H20-05
回転数と伝達動力

 軸直径 d=40[mm] の中実丸軸を回転数 N=2000[rpm] で回転させて動力を伝達する。軸材料の許容せん断応力を τa=100[MPa] とするとき、最大伝達動力 Hmax を求める。

解答:

Hmax=T×2πTmax/60
τ=I×r/Ip=32rT/π(d2^2-d1^2)
中実丸軸なので、d1=0,d2=d
τmax=16T/πd^3=(16/πd^3)×(60/2π)×Hmax/N であるから、
Hmax=τB×(πd^3/16)×(2π/60)×N=263 kW
したがって、最大伝達動力 Hmax = 263 kW である。
(単位が混在しているため統一すること、注意が必要である)

1技術士 3専門 機械  H26-08
ねじりモーメントと応力円

 ねじりモーメントを受ける丸軸の表面の応力状態を表すモールの応力円として適切なもを求める。ただし、垂直応力 σ を横軸、せん断応力 τ を縦軸にとる。

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解答:

σx=σy=0、τz=16T/(πd^3)
主応力σ1=τz=16T/(πd^3)、σ2=-16T/(πd^3)、τ1=16T/(πd^3)
この応力図を表すモール円は、③である。

1技術士 3専門 機械  H30-08  H25-10  H20-03
座屈しない棒長の最大値(両端自由)

 下図に示すように、直径 d の円形断面の棒の両端を回転自由に支持して、A点から長軸にそって圧縮荷重 P を加える。この棒の圧縮応力が降伏応力 σys に達するまでは、座屈荷重 Pcr に関するオイラーの公式
Pcr=π^2・EI/L^2
が適用できるものとする。ただし、E は縦弾性係数、I は断面二次モーメント、L は棒の長さとする。
降伏応力に達するまで座屈に至らないようにするための、棒の長さの最大値を求める。

b93a8d8a09522c60fd83984b2767ca14 175x300 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

座屈荷重は、柱の断面積をAとすると、σcr=Pcr/A となる。
座屈応力が降伏応力に達する棒の長さ l を求めればよい。
σys=(π^2EI/lmax^2)/A となる lmax を求める。
I=πd^4/64であるから、
lmax = √(π^2Ed^2/16σys) = πd/4・√(E/σys) となる。

(別解:)
座屈応力 σcr=π^2E/(l/kz)^2
kz=√Iz/A、Iz=πd^4/64
座屈しないためには、σcr<σys であるから、σcr=σys として l を求めると、
l = √(π^2E)/(σys×(πd^2)/Iz) = πd/4×√(E/σys)

座屈荷重の計算式と導出方法〔参考ページ〕
http://kentiku-kouzou.jp/struc-oirazakutu.html

1技術士 3専門 機械  H27-09  H22-01
圧縮が作用する座屈荷重

 下図に示すように、長さ l の柱の両端を固定する( A点は上下に移動できる固定支持)。 A点から柱の長軸にそって圧縮荷重 P が作用するとき、座屈荷重 Pcr を求める。なお、縦弾性係数を E 、断面二次モーメントを I とする。

e9fa3652414ed3fc01b66ca1dd3fc767 181x300 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

座屈荷重は、Pcr = n(π^2EI/l^2)で表される。
両端固定のはりでは、n=4であるので、
Pcr = 4π^2・EI/l^2 となる。

柱の座屈〔参考ページ〕
http://www.se-lab.archi.kyoto-u.ac.jp/class/stm2/memo3.pdf

1技術士 3専門 機械  H28-06
座屈しない棒長の最大値(一端固定)1

 下図に示すように、一辺の長さ a の正方形断面の棒の一端を固定し、他端を自由にして、自由端に軸圧縮荷重 P を加える。この棒の圧縮応力が降伏応力 σys に達するまでは、座屈荷重 Pcr に関するオイラーの公式
Pcr=π^2・EI/4l^2
が適用できるものとする。ただし、 E は縦弾性係数、 I は断面二次モーメント、 l は棒の長さとする。降伏応力に達するまで座屈に至らないようにするための、棒の最大長さを求める。

140165c0c45c056d6aebf32ea951ef44 120x300 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

座屈応力 σcr は、σcr =Pcr/A=πEI/4a^2・l^2 である。
σcr < σys とするためには、I=a^4/12 として、
σcr = (π^2a^2/48l^2)<σysから、l<(πa/4)√(E/3σys)となる。
したがって、座屈に至らない棒の最大長さは、πa/4・√(E/3σys) である。

1技術士 3専門 機械  H24-09
座屈しない棒長の最大値(一端固定)2

 下図に示す一辺 a の正方形断面の棒の一端を固定し、他端を自由にして、自由端に軸圧縮荷重 P を加える。この棒の圧縮応力が降伏応力 σys に達するまでは、座屈荷重 Pcr に関するオイラーの公式
Pcr=π^2・EI/4L^2
が適用できるものとする。ただし、 E は縦弾性係数、I は断面二次モーメント、L は棒の長さとする。降伏応力に達するまで座屈に至らないようにするときの、棒の最大長さを求める。

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解答:

棒の断面積をAとすると、座屈応力は、σcr=Pcr/A である。
座屈応力が降伏応力を超えない長さを求めには、
σys=Pcr/A を満たす l を求めればよい。
I=1/12・a^4、A=a^2 から、σys=π^2Ea^2/(48l^2) であるので、
座屈が起こらない棒の長さ = πa・√E/48σys となる。

座屈荷重の基礎知識と座屈の種類〔参考ページ〕
http://kentiku-kouzou.jp/struc-zakututoha.html

1技術士 3専門 機械  H29-08
それぞれの端部の座屈荷重

 下図に示すように、曲げ剛性 EI 、長さ L の長柱に荷重 P を加える場合について、端部の固定条件を変えて座屈荷重を求めた。
Z の場合の座屈荷重を Pz≒2π^2・EI/L^2 とし、A、B、C の各場合の座屈荷重を PA、PB、PC とするとき、座屈荷重のそれぞれの関係を求める。

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解答:

座屈荷重は、Pcr=n×(π^2 E I/l^2)=n/2×PZ である。
したがって、それぞれの座屈荷重は、
A:一端固定他自由端 n=1/4  PA = 1/8 PZ = 0.125 PZ
B:両端回転端    n=1   PB = 1/2PZ = 0.5 PZ
C:両端固定端    n=4   PC = 4/2PZ = 2 PZ

1技術士 3専門 機械  H26-10
両端固定のと温度上昇量

 両端が固定された円柱(直径 d 、長さ L 、曲げ剛性 EI 、線膨張係数 α )がある。この円柱の座屈荷重は、オイラーの公式により 4π^2・EI/L^2 で表せる。この円柱に軸荷重が作用していない状態から温度を徐々に上昇させたところ、座屈が発生した。このときの温度上昇量を求める。

解答:

座屈応力 σcr は、σcr = Pcr/A =π^2・Ed^2/4L^2 である。
ΔT 温度上昇したときの応力は、σ=-EαΔT であるから、
この応力が座屈応力に達すると、座屈を起こす。
よって、EαΔT = π^2・Ed^2/4L^2 となり、
温度上昇量 ΔT = π^2・Ed^2/4L^2・Eα = 2π^2・d^2/αL^2 となる。

1技術士 3専門 機械  H24-08
小孔を設けた許容応力

 繰返し引張荷重がかかる安全率 S が4で設計された鋼製の部材の中央部に、都合により、小孔(応力集中係数 α=3 )を設けることになった。新たな許容応力 σa として設計値を求める。
ただし、鋼材の引張強さ σB は 400MPa 、引張疲労限度 σF は 150MPa とする。

解答:

安全率=基準強さ/許容応力 であり、材料の基準とする強さは σF をとるから、
σF/Sである。
また、応力集中係数は σmax/σ0 から、(σF/S)/σa=α である。
したがって、新たな許容応力 σa = σF/(αS)=150/(3×4) = 12.5 MPa

1技術士 3専門 機械  H26-04
丸軸直径と最大せん断応力

 中実丸軸の直径が n 倍になると、最大せん断応力は k 倍になる。
k の値を求める。

解答:

中実丸棒にトルクTが作用するときの最大せん断応力は、τmax=16T/πd^3である。
丸棒の直径が n 倍のときの最大応力τmax′は、τmax′= 16T/π(n d)^3 である。
τmax′/τmax=k であり、(16T/π(n d)^3)/(16T/πd^3)=k であることから、
k = 1/n^3 である。

1技術士 3専門 機械  H24-10  H22-03
断面係数が大きくなる二辺の比

 直径 D の丸棒から下図に示すように高さ h、幅 b の矩形断面の棒を削り出したとき、曲げ荷重に対して最も断面係数が大きくなる二辺の長さの比 h:b を求める。

98616f96e4489896bd7fb49c2bb398ad - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

断面係数 Z は、Z=1/6・bh となる。
h^2=(D^2-b^2) であるから、Z=1/6・b(D^2-b^2) となる。
Z を b の関数として、Z′=0 となる b が Z の最大値をとるから、
Z′=1/6(D^2-3b^2)=0 より、b=√(D/3) となる。
したがって、h=√(2D/3)となり、
二辺の長さの比は、h:b = √2:1 となる。

1技術士 3専門 機械  H28-09
縁に集中する引張応力

 下図に示すように、楕円孔を有する無限に広い一様な厚さの板に σ の一軸の引張応力を負荷するとき、楕円孔の縁に応力集中によって生じる最大引張応力が最も低くなる 2a と 2b の値を求める。

   2a    2b
① 20[mm]  80[mm]
② 20[mm]  40[mm]
③ 20[mm]  20[mm]
④ 40[mm]  20[mm]
⑤ 80[mm]  20[mm]

7838c59b98a04ae77980bb294995e432 218x300 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

応力集中で起こる最大応力をσmaxとすると、σmax=σ(1+2(a/b)) である。
①から⑤までの a/b を求めると、
① a/b=1/4、② a/b=1/2、③ a/b=1、④ a/b=2、⑤ a/b=4 となる。
したがって、楕円孔の縁に応力集中によって生じる最大引張応力 σmax は、①の場合、
2a=20[mm] 2b=80[mm] のとき、最も低くなる。

1技術士 3専門 機械  H30-09  H27-10  H21-04
平面応力状態の主応力

 下図に示すように、平面応力状態となっている構造物の表面において、ある地点の応力状態が、σx=200 [MPa] 、σy=80 [MPa] 、τxy=160 [MPa] であるとき、主応力 σ1 、σ2 のそれぞれを求める。

7379f0bf7028049fbd763be675dec00a 300x237 - 1 材料力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

σ1=1/2×(σx+σy)+1/2×√((σy-σx)^2+4τz^2)=310.9
σ2=1/2×(σx+σy)-1/2×√((σy-σx)^2+4τ・z^2)=-30.9
したがって、σ1=310.9[MPa]、σ2=-30.9[MPa] となる。

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅣ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_4.htm

1技術士 3専門 機械  H28-08  H24-07
平面応力状態の主せん断応力

 平面応力状態となっている構造物の表面において、次の応力を負荷したとき、主せん断応力の絶対値が最も大きいものを求める。

① σx=50[MPa]、σy=-40[MPa]、τxy=0[MPa]
② σx=-100[MPa]、σy=0[MPa]、τxy=0[MPa]
③ σx=70[MPa]、σy=0[MPa]、τxy=30[MPa]
④ σx=120[MPa]、σy=120[MPa]、τxy=0[MPa]
⑤ σx=0[MPa]、σy=0[MPa]、τxy=40[MPa]

解答:
τ1=±1/2√((σy-σx)^2+4τxy^2)=±1/2(σ1-σ2)

①から⑤のτ1を計算すると、
①τ1=±45 MPa、②τ1=±50、③τ1=±40、④τ1=±0、⑤τ1=±20
したがって、② σx=-100[MPa]、σy=0[MPa]、τxy=0[MPa]
のとき、主せん断応力の絶対値が最も大きい

材料力学の典型的な問題と解答例 PartⅣ 〔参考ページ〕
http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_4.htm

1技術士 3専門 機械  H29-09  H25-07  H22-04
平面応力状態の応力成分

・純粋せん断の応力状態では、主応力の和は零である。
・主応力が作用する面と主せん断応力(最大せん断応力)が作用する面のなす角度は、 45度である。
・主応力の差は、主せん断応力(最大せん断応力)ではない。
・主応力の差の1/2が、主せん断応力に等しい。
・垂直応力成分の和は、座標系の取り方によらず一定である。
・等二軸引張りの応力状態では、どの方向の面においてもせん断応力成分は零である。

1技術士 3専門 機械  H30-10  H29-10  H28-10  H27-08  H26-09  H25-08  H23-07  H21-04
円筒の円周方向応力と軸方向応力

 内径 d=370[mm] 、肉厚 t=2.5[mm] の薄肉円筒圧力容器に内圧 p=3.0[MPa] が作用するとき、容器の両端から十分離れた円筒部分に生じる円周方向応力 σθ のと軸方向応力 σz の値を求める。

解答:

σθは、円筒から軸方向の長さ1のリングの力の平衡から、
2∫pr・dθ・sinθ=2σθtから求められる。
σzは、円筒を軸に垂直断面で切断し力の平衡を考えると、
πr^2・p=2πrtσzから求められる。
この2つの式はよく出るので、暗記する必要がある。
σθ=pr/t
σz=pr/2t

与えられた数値を代入すると、
σθ=pr/t=(3.0×370/2)/2.5= 222 [MPa]
σz=pr/2t=(3.0×370/2)/5= 111 [MPa]

材料力学/問題3 専門科目 機械部門/過去問からの出題傾向

技術士第一次試験/問題3 専門科目 機械部門

◎は、予想が的中したものです。

重点予想 H30 H29 H28 H27 H26 H25 H24
◇ 材料力学
 力学的性質を評価する試験
 法則、理論、定理
 材料の強度設計
 仮想断面の垂直応力とせん断応力
 片持梁の最大曲げ応力
 両端固定梁の応力
 温度上昇で棒に発生する応力
 温度上昇2回で棒に生じる熱応力
 段付き丸棒の弾性ひずみエネルギー
 自重による段付棒全体の伸び
 つり下げ棒の自重と軸荷重による応力
 引張応力と伸び量
 段付き棒の引張荷重による伸び
 自重により破断しない最大長
 鋼板に生じる熱応力
 温度上昇による円柱と円筒の伸び量
 温度上昇による円柱と円筒の熱応力
 棒に負荷される軸方向の荷重
 角度をなす棒に生じる軸力
 単純支持梁の曲げモーメント
 単純支持梁の最大たわみ
 集中荷重が作用する梁の最大曲げ応力
 梁の最大曲げモーメント、等分布荷重
 単純支持と固定支持の反力
 集中荷重と等分布荷重のたわみ
 集中荷重と等分布荷重の曲げ応力
 片持梁、集中荷重と等分布荷重
 片持梁の最大たわみ
 ねじりモーメントとせん断応力
 ねじりモーメントとねじれ角の比
 ねじりモーメントの比
 両端固定のねじりモーメントとねじれ角
 回転数と伝達動力
 ねじりモーメントと応力円
 座屈しない棒長の最大値(両端自由)
 圧縮が作用する座屈荷重
 座屈しない棒長の最大値(一端固定)1
 座屈しない棒長の最大値(一端固定)2
 それぞれの端部の座屈荷重
 両端固定のと温度上昇量
 小孔を設けた許容応力
 丸軸直径と最大せん断応力
 断面係数が大きくなる二辺の比
 縁に集中する引張応力
 平面応力状態の主応力
 平面応力状態の主せん断応力
 平面応力状態の応力成分
 円筒の円周方向応力と軸方向応力
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 問題3 専門科目 機械部門
過去問と解答速報『資格試験_合格支援隊』
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