2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験


制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 1

1技術士 3専門 機械  H30-11
フィードバック制御系の零点と極

 伝達関数 P(s) で表される制御対象に対して、コントローラ K(s) を考える。下図のようなフィードバック制御系の零点と極の組合せとして、最も適切なものを求める。ただし、P(s) と K(s) は、それぞれ P(s)=1/(s+2)、K(s)=4/(s+3) で表されるものとする。また、j=√-1 とする。

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① 零点 : -5±j√15/2、 極 : -2 と-3
② 零点 : ない、      極 : -5±j√15/2
③ 零点 : -2 と-3、   極 : -5±j√15/2
④ 零点 : -2、      極 : -3
⑤ 零点 : ない、      極 : -2 と-3

解答:

G(s)=Y(s)/U(s)=K(s)P(s)/(1+K(s)P(s))=4/(s^2+5s+10)
s^2+5s+10=0の根を求めると、s=(-5±j√15)/2
したがって、Y(s)/U(s)=4/(s-((-5+j√15)/2)((-5-j√15)/2)
零点と極は、② 零点:ない、極:-5±j√15/2 が適切である。

伝達関数 〔参考ページ〕
http://stlab.ssi.ist.hokudai.ac.jp/yuhyama/lecture/linearsys/st5-2up.pdf

1技術士 3専門 機械  H28-12  H24-11
伝達関数をもつ系の安定性

 以下の伝達関数をもつ系の安定性に関する記述は、次の通りである。
 G(s)=s-2/s^2+5s+6

・零点の値や正負で安定の判別はできない。
・極の実数だけで安定の判別はできない。
・G(s)=(s-2)/(s+2)(s+3)から、極は(-2,-3)である。
・2つの極が負の値(-2,-3)をもつから、この系は安定である。
・特定方程式の根が極点となり、極点が全て負であれば系は安定である。

1技術士 3専門 機械  H27-12  H21-15
制御系の安定性

 3つの制御系があり、それぞれの特性方程式の極(根)が(1)~(3)のように与えられるとする。ここで、j は虚数単位とする。なお、3つの系いずれにおいても、極と零点の相殺は生じていないものとする。
(1) -1,   -2,  +1
(2) -3, -1+2j, -1-2j
(3) +j,   -j,  +1

これら3つの制御系の安定性についての記述は、次の通りである。
・(1)は、極に+1 があるため、不安定である。
・(2)は、根の実数部が全てマイナスであるため、安定である。
・(3)は、極に+1 があり、また複素根の実数部が0であるため不安定である。

1技術士 3専門 機械  H29-12  H22-20
フィードバック制御の安定動作ゲイン

 下図に示すフィードバック制御系が安定に動作するためのゲインKの範囲を求める。

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解答:

フィードバック制御系の入出力間の伝達関数G(s)は、
G(s)=K/(s(s+1)(0.2s+1))であるから、
特性式は、s(s+1)(0.2s+1)=0.2s^3+1.2s^2+s+Kである。
ラウスの行列を作成すると、
0.2  1  …
1.2  K  …
b1  b2  …

安定であるためには、|b1|/1.2=(1.2―0.2K)/1.2>0 より、K<6
したがって、ゲインの範囲は、0<K<6 である。

制御理論ゼミ 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2-solution.pdf

1技術士 3専門 機械  H26-12  H23-22  H22-18  H20-20
フィードバック制御が安定になるゲイン

 下図に示すフィードバック制御系において、制御対象 P(s) 及びコントローラ C(s) の伝達関数が以下のように与えられている。 a=-2 、b=1 のとき、制御対象の極は s=2 となり不安定である。フィードバック制御系が安定になる Kp の値を求める。ここで、a、b、Kp はそれぞれ定数とする。

  P(s)=b/(s+a), C(s)=Kp
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解答:

U(s)/R(s)=G(s)P(s)/(1+G(s)P(s))=Kp・(b/(s+a))/(1+Kp・(b/(s+a)))
=Kp b/(s+a+Kp b)=Kp/(s-2+Kp)
この系が安定であるためには、特性方程式 s-2+Kp の極が負である必要がある。
よって、2-Kp<0 となり、Kp>2 でなければならない。
したがって、Kp=4 となる。

制御工学 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2.pdf

1技術士 3専門 機械  H25-11
閉ループ系を安定化する係数

 下図のようなフィードバック制御系を考える。ここに、 X(s) 、 Y(s) はそれぞれ入力、出力である。伝達関数 G(s) が
  G(s)=3s+1/(s^2+s+1)
の制御対象に対して、次式の制御装置 K(s) を設計する。
  K(s)=k1s+k0
閉ループ系の極を -5/8 と -1 に配置して系を安定化するための係数 k0、 k1 の値を求める。なお、閉ループ系の特性方程式は次式で与えられる。
  1+K(S)・G(s)=0

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解答:

特性方程式は、1+K(s)G(s)で与えられる。
これを展開した式の分母の式を0とした式が、特性方程式である。
よって、s^2+s+1+3k1s^2+(3k0+k1)s+k0=0であり、
s^2+((3k0+k1+1)/(3k1+1))s+((k0+1)/(3k1+1))=0
極を-5/8と-1としたときの特性方程式は、(s+5/8)(s+1)=0であるから、
2つの方程式比べれば、((3k0+k1+1)/(3k1+1))=13/8、((k0+1)/(3k1+1))=5/8となる。
よって連立方程式を解いて、
閉ループ系を安定化する係数は、k0=3/2、k1=1 となる。

制御理論ゼミ 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2-solution.pdf

制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 2

1技術士 3専門 機械  H24-16
伝達関数の系のゲイン

 以下の伝達関数 G(s) で表される系のゲインとして、適切なものを求める。
なお、角振動数を ω とする。
  G(s)=1/(S^2+s+1)

解答:

ゲインは、|G(jω)|=|1/(j^2ω^2+jω+1)|=|1/((1-ω^2))+jω|となる。
|(1-ω^2))+jω|は、実軸(1-ω^2)、虚軸ωの0点からの距離であるから、
|(1-ω^2))+jω|=(1-ω^2)^2+ω^2であるから、
伝達関数の系のゲインは、1/(√((1-ω^2)^2+ω^2)) である。

制御理論ゼミ 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2-solution.pdf

1技術士 3専門 機械  H25-12  H22-14
ブロック図の等価変換

 次の(ア)~(ク)のブロック線図のうち、等価な組合せを求める。

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解答:

・(ア)のブロック図を等価変換すれば、(キ)となる。
・(イ)のブロック図を等価変換すれば、(ク)となる。
・(ウ)のブロック図を等価変換すれば、(オ)となる。
・(エ)のブロック図を等価変換すれば、(カ)となる。
したがって、等価な組合せは、(ア)と(キ)、(イ)と(ク)、(ウ)と(オ)、(エ)と(カ)

1技術士 3専門 機械  H29-14  H27-11  H26-13  H24-12  H23-18  H21-14  H20-19
ブロック線図間の伝達関数

 下図のブロック線図の入力 X と出力 Y の間の伝達関数として、最も適切なものを求める。

 H29-14 の問題 29e1eb7c41dc2dcf2b48446fef8e1440 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

G1とH1及びG2間の伝達関数は、G1G2/(1+G1H1) である。
この伝達関数と、H2間の伝達関数は、
(G1G2/(1+G1H1))/(1+G1G2/(1+G1H1))=G1G2/(1+H1G1+H2G1G2)
XYの間の伝達関数は、G1・G2/(1+H1・G1+H2・G1・G2) である。

伝達関数 〔参考ページ〕
http://stlab.ssi.ist.hokudai.ac.jp/yuhyama/lecture/linearsys/st5-2up.pdf

 H27-11 の問題 a925f5648643197618a766a00fab6fbd 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

ブロック図の等価変換により、
G2とG3の変換、その変換後のブロック図とH2との変換のように、
順番に変換を重ねることで、解答を得る。
XYの間の伝達関数は、G1・G2・G3・G4/(1+H1・G1・G2+H2・G2・G3) である。

 H26-13 の問題 09b278ec39bbd9ea714d9e0bc8d78020 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

ブロック図の等価変換を行なえばよい。
初めにG2とG3を統合し、続いてG1を統合する。
それらの統合した伝達関数とG3を等価変換すれば、解答を得る。
abの間の伝達関数は、G1・G2/(1+G2・G4+G1・G2・G3) である。

 H24-12 の問題  87798f1670d09682b062bfa6975bad0c 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

Fの出口からG出口へのフィードバックのブロック図は、等価変換により、
F/(1+F)のブッロク図に変換され、Gと合わさって、
GF/(1+F)の単純なブロック図として等価変換できる。
GF/(1+F)のフィードバックのブッロク図の等価変換により、解答を得る。
XYの間の伝達関数は、③GF/(1+F+GF) である。

制御理論ゼミ 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2-solution.pdf

1技術士 3専門 機械  H27-13
目標値と制御量の間の伝達関数

 下図に示すフィードバック制御系において、 P(s) は制御対象の伝達関数であり、 C(s) は操作量 U(s) の値を決めるコントローラである。ここで、目標値 R(s) 、外乱 D(s) 、操作量 U(s) 、制御量 Y(s) の関係は次式で与えられる。このとき、 R(s) と Y(s) の間の伝達関数 Gyr(s) を求める。
 U(s)=Gur(s)・R(s)+Gud(s)・D(s)
 Y(s)=Gyr(s)・R(s)+Gyd(s)・D(s)

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解答:

Gyr(s)=Y(s)/R(s) であるから、C(s) と P(s)間をブロック図の等価変換することで、解答を得る。
目標値と制御量の間の伝達関数は、P(s)・C(s)/(1+P(s)・C(s)) である。

制御工学 〔参考ページ〕
http://www.sc.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/control2.pdf

1技術士 3専門 機械  H28-11  H21-13
フィードバック系の基本構造

 次のブロック線図で表されるフィードバック系の基本構造における語句は、次の通りである。

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制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 3

1技術士 3専門 機械  H30-12  H28-14  H26-14  H25-13  H24-13   H23-17  H22-13  H21-17  H20-21
ラプラス変換した関数

 H30-12 の問題 

 時間関数のラプラス変換が F(s)=1/(s^2+4s+7)であるとき、逆ラプラス変換した時間関数 f(t) を求める。

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解答:

1/((s+2)^2+3)=1/√3×√3/((s+2)^2+3)
L^-1(e^at×sinωt)より、a=-2、ω=√3  (L^-1はラプラス逆変換である)
逆ラプラス変換した時間関数 f(t) = 1/√3・e^-2t・sin√3t

ラプラス変換と逆ラプラス変換 〔参考ページ〕
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap12/index.htm

 H28-14 の問題 2c9d2e21839001d579edc82d29fd0906 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 次の伝達関数で表される制御系の入力信号を単位ステップ関数 u(t) としたとき、出力信号 f(t) を求める。ただし、 e は自然対数の底とする。
  F(s)=6/(s^2+5s+6)

解答:

単位入力U(s)=1/sであるから、出力F(s)は、F(s)=G(s)・1/sであるから、
f(t)=l^-1 F(s)=l^-1 (6/(s^2+5s+6)×1/s)
  =l^-1 (1/s-3/(s+2)+2/(s+3))
  =u(t)-3e^(-2t)+2e^(3t)=1-3e^(-2t)+2e^(3t)
したがって、出力信号 f(t) は、1-3e^-2t+2e^-3t である。

ラプラス変換とその使い方1<基礎編> 〔参考ページ〕
https://www.jeea.or.jp/course/contents/01131/

 H26-14 の問題 

 時間関数 f(t) のラプラス変換が F(s)=1/(s+2)・(s-3) であるとき、
f(t) を求める。

解答:

F(s)=1/(s+2)(s-3)=(-1/(s+2)+1/(s-3))・1/5となるので、
1/(s+2)と1/(s-3)のラプラス逆変換は、それぞれ、e^-2tとe^3tである。
よって、l^-1(F(s)) = f(t) = 1/5(e^3t-e^-2t) となる。

伝達関数 〔参考ページ〕
http://stlab.ssi.ist.hokudai.ac.jp/yuhyama/lecture/linearsys/st5-2up.pdf

 H25-13 の問題 

 複素関数 F(s)=s+1/(s-1)s を逆ラプラス変換した時間関数 f(t) (t>0) を求める。ただし、 s は複素数でラプラス変換のパラメータとし、初期値は全て零とする。

  参考:ラプラス変換の例   3605f451425ac8a2bf2ea748ae6f9c4b 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

F(s)=(s+1)/((s-1)・s)=2/(s-1)-1/s=2(1/(s-1))―1/s より、
ラプラス逆変換すれば、1/(s-1) は e^t、t>0であるから、1/s は 1 となる。
よって、逆ラプラス変換した時間関数は、f(t) = 2e^t-1 である。

 H24-13 の問題 

 像関数 F(s)=2/(s(s+1)) を逆ラプラス変換した原関数 f(t) (t>0) を求める。ただし、s は複素数でラプラス変換のパラメータとし、初期値は全て零とする。

  参考:ラプラス変換の例  4e7b2c0e51f47689fe1c0fcd77b041ed 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

F(s)=2/(s(s+1))=2((1/s)-(1/(s+1)))=2・1/s-2・1/(s+1) より、
1/s のラプラス逆変換は 1、1/(s+1) のラプラス逆変換は e^(-t) となるから、
逆ラプラス変換した原関数は、 f(t) = 2-2e^(-t) となる。

ラプラス変換 〔参考ページ〕
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/yazaki/teaching/fa/fa-laplace.pdf

1技術士 3専門 機械  H30-13
安定な特性方程式

 次の特性方程式を持つフィードバック制御系において安定なものとして、適切なものを求める。ただし、 s は複素数でラプラス変換のパラメータとする。

① s^2+3s+2=0
② s(s-2)=0
③ s^2-3s+2=0
④ s^3-3s^2+2s=0
⑤ s^4+3s^3+5s^2=0

解答:

s^2+3s+2=0 の根、すなわち極は、-1 と -2 であってすべて負であるため、
安定である。なお、②~⑤の根は、正または 0 であるため、安定でない。
安定な特性方程式は、① s^2+3s+2=0 である。

1技術士 3専門 機械  H24-14
ラプラス変換と伝達関数

 以下の微分方程式で表される系において、入力変位 x(t) 及び出力変位 y(t) のラプラス変換をそれぞれ X(s) 及び Y(s) としたとき、 X(s) に対する Y(s) の関係を表す伝達関数を求める。
ただし、t は時間、s はラプラス演算子である。また、m、c 及び k は定数である。

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解答:

d^2y(t)/dt^2の逆ラプラス変換は、s^2Y(s)-sy(0)-y′(0)、
dy(t)/dtの逆ラプラス変換は、sY(s)-y(0)
であるから、与えられる微分方程式のラプラス変換は、
(ms^2+cs+k)Y(s)+Ay(0)+By′(0)=kX(s)となる。
微分方程式は、強制振動のある1自由度振動系で与えられ、初期状態の位置と速度はゼロである。よって、
(ms^2+cs+k)Y(s)=kX(s)より、Y(s)/X(s)=k/(ms^2+cs+k)となる。
したがって、ラプラス変換の関係を表す伝達関数は、k/(ms^2+cs+k) である。

ラプラス変換とその使い方1<基礎編> 〔参考ページ〕
https://www.jeea.or.jp/course/contents/01131/

1技術士 3専門 機械  H28-13
状態方程式と出力方程式

 次の状態方程式、出力方程式で表される系が不可観測となるとき、a の値を求める。

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解答:

x″=A x+b uと、x の係数マトリックスを A とする。
また、y=C^T x とし、C^T の転置マトリックスを C とする。
A^T を A の転置マトリックスとして、(A^T)^2 C を計算し、
B=|C|A^T|(A^T)^2|とすると、|B|=a+2であり、
|B|=0 となのは、a=-2 のときである。
したがって、不可観測となるのは、a=-2 である。

1技術士 3専門 機械  H30-14  H23-19
入力関数と応答

 入力をシステムの要素に加えると応答が得られる。
A群の入力関数とB群の応答の組合せは、次の通りである。

    A群:入力関数           B群:応答

 a1584b288ee9d5b61ed571596c35d65e 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験           ステップ応答

 2be6e5e7729ec435bcf4e1de3a572811 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験           ランプ応答

 0ae156ef6ae7a15772dbbc3818705f8d 1 - 2 制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験  ステップ応答

1技術士 3専門 機械  H26-11
動的システムのステップ応答

 ある動的システムのステップ応答を下図に示す。図中の語句は、次の通りである。
ここで、y∞は定常値である。

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1技術士 3専門 機械  H29-11
PI制御とPD制御

・PID 制御において、目標値と制御量の偏差に比例した操作を行うのが P制御である。
・偏差の積分値に比例した操作を行うのが I制御であり、PI 制御は一般に 定常偏差の除去 に有効である。
・また、偏差の微分値に比例した操作を行うのが D制御で、PD 制御は一般に 応答性の向上 に有効である。

・PI制御では、目標値と制御量に差があると偏差が 0 になるまで操作量を出す。
・PD制御では、目標値と制御量に差に対し、差分を解消するための操作量を出す。

1技術士 3専門 機械  H24-15
制御量とは

制御量を説明する記述は、次の通りである。
・操作量を説明する記述
・制御パラメータを説明する記述
・整定値を説明する記述
・制御量を説明する記述:制御対象に属する量のうち、制御の目的となる量。
・制御目標値または制御設定値を説明する記述

1技術士 3専門 機械  H29-13  H25-14  H22-15  H20-22
伝達関数のグラフ表現

伝達関数をグラフ表現する方法は、次の通りである。
・周波数伝達関数 G(jω) をグラフ表現する方法の1つに ベクトル軌跡 がある。
ベクトル軌跡は、角周波数 ω を 0 から +∞ まで変化させたときの複素数 G(jω) を複素平面上にプロットしたもので、伝達関数の周波数特性であるゲインや位相が一目でわかり、ナイキスト安定判別にも用いられる。
・もう1つの方法が ボード線図 である。ボード線図 は、ゲイン線図と位相線図から構成され、角周波数 ω とゲイン、角周波数 ω と位相の関係が陽に示されているので、周波数特性を定量的に評価するのに適している。
・一方、ナイキスト線図 は、一巡伝達関数 w=P(s) で表されるシステムに対して、複素平面上において s を規定の閉曲線上で動かしたときの複素数 w を複素平面上にプロットしたものである。

・ベクトル軌跡は、角周波数ωを0から+∞まで変化させたときの複素数G(jω)を複素平面上にプロットしたものである。
・ボード線図は、ゲイン線図と位相線図から構成され、角周波数ωとゲイン、角周波数ωと位相の関係が陽に示されている。
・ナイキスト線図は、伝達関数w=P(s)で表されるシステムに対して、複素平面上においてsを規定の閉曲線上で動かしたときの複素数wを複素平面上にプロットしたものである。

1技術士 3専門 機械  H27-14
フィードバック制御系の特徴

・制御対象 が不安定であっても、コントローラ の設計パラメータを適切に選ぶことにより 制御系 を安定にすることができる。
・制御系 に 外乱 が混入する場合、コントローラ の設計パラメータを適切に選ぶことにより、外乱 が制御量に及ぼす影響を抑制できる。制御対象 の変動が制御量に及ぼす影響を、コントローラ の調整により抑制できる。

制御と伝達関数/問題3 専門科目 機械部門/過去問からの出題傾向

技術士第一次試験/問題3 専門科目 機械部門

◎は、予想が的中したものです。

重点予想 H30 H29 H28 H27 H26 H25 H24
◇ 制御と伝達関数
 フィードバック制御系の零点と極
 伝達関数をもつ系の安定性
 制御系の安定性
 フィードバック制御の安定動作ゲイン
 フィードバック制御が安定になるゲイン
 閉ループ系を安定化する係数
 伝達関数の系のゲイン
 ブロック図の等価変換
 ブロック線図間の伝達関数
 目標値と制御量の間の伝達関数
 フィードバック系の基本構造
 ラプラス変換した関数
 安定な特性方程式
 ラプラス変換と伝達関数
 状態方程式と出力方程式
 入力関数と応答
 動的システムのステップ応答
 PI制御とPD制御
 制御量とは
 伝達関数のグラフ表現
  フィードバック制御系の特徴
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