3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験


機械力学/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 1

1技術士 3専門 機械  H30-17
縦振動を表す運動方程式

密度 ρ、ヤング率 E の一様断面の棒の縦振動を表す運動方程式として、最も適切なものを求める。ただし、棒の長手方向の位置を x、変位を w とする。

解答:
ハミルトンの波動方程式から、
∂^2w/∂t^2=c^2(∂^2w/∂x^2)、c=√(E/ρ) 波の速度 と表されることから、
棒の縦振動を表す運動方程式は、bb1147c3d4b80b04a6eac98f0890fe2d - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験 である。

自由度系(自由振動)の解法 〔参考ページ〕
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/service/08170-3/appendix.pdf

1技術士 3専門 機械  H29-18  H25-17  H22-10
横振動梁の支持条件

横振動するはりの支持条件として、自由端、固定端、単純支持端などがある。
支持条件と境界条件に関する記述は、次の通りである。
ただし、はりの長手方向の座標を x、横方向の変位を w(x) とする。

・単純支持端では、たわみが零 (w(x)=0) を満たす。
・固定端では、たわみ角が零 (dw(x)/dx=0) を満たす。
・自由端では、曲げモーメントが零 (d^2・w(x)/dx^2=0) を満たす。
・自由端では、せん断力が零 (d^3・w(x)/dx^3=0) を満たす。
・単純支持端では、曲げモーメントが零 (d^2・w(x)/dx^2=0) を満たす。

1技術士 3専門 機械  H26-17  H24-18  H23-14  H20-16
横振動梁の境界条件

 横振動するはりの境界条件には、自由端、固定端、単純支持端などがある。
以下はそれぞれの境界条件に適合する式を示したものである。
ただし、はりの長手方向の座標を x、横方向の変位を w(x) とする。

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解答:
境界条件として、固定端は曲げモーメントとせん断力がある。
自由端は曲げモーメントもせん断力もない。
単純支持端ではモーメントはないが、せん断力はある。
w(x)は変位、∂w(x)/∂xは勾配、∂^2w(x)/x^2はモーメント、
∂^3w(x)/x^3はせん断力を示す。

1技術士 3専門 機械  H27-21
おもりの回転角速度と糸の長さ

 質量 m のおもりが糸でつながれており、滑らかな面をもつ板の上を一定の角速度 ω で、下図のように反時計方向に回転している。糸は図のように小さな穴を通り板の下側につながっており、その有効長さ l を変えられるものとする。
角速度を2倍にするための糸の長さの変化長を求める。
ただし、おもりと平面の間の摩擦及び空気抵抗は無視できるものとする。

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解答:

回転の変化に対しトルクが加えられていないため、角運動量が保存される。
よって、角運動量=Iωであり、I=ml^2である。
回転が2ωとなったときの糸の長さをl′とすれば、
角運動量の保存則から、ml^2・ω=ml′^2・2ωとなり、
(l′/l)^2=ω/2ω=1/2 である。
したがって、角速度を2倍にするための糸の長さは、1/√2倍にする。

1技術士 3専門 機械  H28-17
機械の振動

・1自由度系において質量を増加させると、固有振動数は小さくなる。
 ω=1/2π√k/mから、m→大になると、ω→小になる。
・1自由度系に加振力が作用し共振しているとき、加振力と変位の位相は約90度ずれる。
・2自由度系の固有振動数は一般に2個ある。
・共振しているときの振幅の大きさは減衰係数に依存する。
・回転機械の危険速度は固有振動数と関係している。

1技術士 3専門 機械  H27-17
振動系における減衰

・減衰が存在するとき、共振時の応答は有限の振幅になる。
・減衰比が1より大きいときを過減衰という。
・減衰が存在するとき、自由振動は時間とともにゼロに収束する。
・減衰比(粘性減衰係数/臨界減衰係数)は、無次元である。
  減衰比ζは、ζ=c/cn で表される。
  粘性減衰係数 c の単位は、N・s/m である。
  臨界減衰係数 cn の単位は、N・s/m である。
  したがって、ζは、無次元である。
・減衰が大きい場合は、減衰が無い場合に比べて共振周波数は小さくなる。

1技術士 3専門 機械  H26-18  H24-20  H22-08
共振の特性

・系が外部から加振されて調和振動するとき、加振力の振幅が一定でもその振動数により、振動の振幅が変化し、ある振動数で振幅が 最大 になる。
・この現象を 共振 という。この現象が生じる振動数を 共振振動数 という。
・共振 では、加振の開始とともに発生した振動が時間とともに増大し、その振幅は、不減衰系では 無限大 になる。

 ア  イ     ウ     エ
①極大 共振   共振振動数 有限な値
②零  共振   励振振動数 無限大
③極小 強制振動 固有振動数 有限な値
④極大 共振   共振振動数 無限大
⑤零  強制振動 固有振動数 有限な値

1技術士 3専門 機械  H29-17  H21-22
ねじの原理の図

 下図は、ねじの原理を表している。また、その記述は、次の通りである。

・L は、ねじを1周回転させたときに軸方向に進む距離であり、図中の記号を使うと、 L=πd・tanβ の式で表すことができる。
・条数 n の多条ねじでは、L は nL となる。

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解答:
Lは頂角度をβとした直角三角形の1辺であり、2つの辺の長さは、πd と L である。
したがって、tanβ=πd/Lであるため、解答を得る。

機械力学/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 2

1技術士 3専門 機械  H29-15  H26-16  H25-16  H20-11
1自由度振動系の周波数応答線図

 下図に示す、質量 m=1[kg] の物体、ばね定数 k=4[N/m] のばね、粘性減衰係数 c=1[N/(m/s)] のダンパからなる1自由度振動系において、振幅 F が 0.004[N] 、角振動数 ω の周期的な力 f=Fsinωt が物体に作用するとき、物体の変位は x=Xsin(ωt+φ) と表される。このとき、物体の変位 x の振幅 X と作用する力の角振動数 ω の関係を表す周波数応答線図として、最も適切なものを求める。

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② 最も適切

解答:

この系の運動方程式は、mx″+cx′+kx=F sinωtと表される。
x=X sin(ωt+φ)としたときの振幅Xは次のように与えられる。
振幅Xは、Xst/(√((1-β^2)^2+4ζ^2 β^2))×e^(i(ωt+φ))
ここで、β=ω/ωn、ωn=√(k/m)=2、ζ=c/2√(mk)=1/4、Xst=F/k=0.001
Xが最大値を取るとき、β=ω/ωn=1であるから、ω=ωn=2
このときのXは、X=(Xst/2ζ)=2
ω=2 でピーク値を取り、その時 X=2×10^(-3)となる
最も適切な周波数応答線図のグラフは、②である。

1技術士 3専門 機械  H30-15  H29-22  H27-15
1自由度振動系の減衰係数

 H30-15 の問題 549ca74dd8d88bad1f523e07ffc159e6 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図のような粘性減衰要素を有する1自由度振動系において、質量 m が 10kg 、ばね定数 k が 100kN/m 、減衰比が 0.01 のとき、減衰係数 c を求める。

解答:
この1自由度振動系の固有振動数を ωn とすると、
減衰比ζは、ζ=c/2mωn となるため、
減衰係数 c は、c = 2√mk×ζ = 2×√(10×100×10^3)×0.01 = 20 Ns/m

自由度系の振動 〔参考ページ〕
http://www.az.cs.is.nagoya-u.ac.jp/class/vib/chap_3.pdf

 H27-15 の問題 e0ceab4ee494c0f73efc006cc38b146a - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図の粘性減衰要素を持つ1自由度振動系において、質量 m=1[kg] 、ばね定数 k=10000[N/m] とする。この系の減衰比が 0.05 であるとき、減衰係数 c[Ns/m] を求める。

解答:
この1自由度振動系の固有振動数ωnは、ωn=√k/m=100である。
減衰比ζは、ζ=c/2mωnとなるため、
0.05=c/(2×100)より、減衰係数は、c=10 Ns/m となる。

 H29-22 の問題 178d2a13e0b03cb898495c68dd96fe50 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図の1自由度の直線振動系において、質量 m=1[kg] 、ばね定数 k=100[N/m] とする。この系の臨界減衰定数 c を求める。

解答:
図の振動系は、mx″+cx′+kx=0で与えられ、
臨界係数 cn は、cn = 2√(mk)=2×√(1×100) = 20 Ns/m となる。

1技術士 3専門 機械  H28-19  H24-17
1自由度振動系の変位と時間

 図1のように、水平面内の一方向のみに動くことができる質量 m の物体がばね定数 k のばねと粘性減衰係数 c のダンパーを介して固定壁に結合されている。この物体に初期条件として x 方向に正の変位を与えて放したところ、物体の変位 x は時間 t に対して図2のように変化した。この現象に関する次の記述は、次の通りである。

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・このような振動現象を不足減衰と呼び、粘性減衰係数 c は、0<c<2√(mk) となるように設定されている。
・この場合の固有角振動数はダンパーを取り去った場合の固有角振動数 √k/m に対して小さくなる。

解答:
図の1自由度振動系の運動方程式は、mx″+cx′+kx = 0と表され、
ωn^2=k/m、c/m=2ζωn、2√(mk)=cn、ζ=c/cnを導入し、
x″+2ζωn x′+ ωn^2 x=0と表せる。この系の固有角振動数は、
ωd=ωn√(1-ζ^2)である。
ωn は減衰がない系の固有角振動数、cn は臨界粘性減衰係数、ζ は減衰比という。
減衰する振動系では、ζは 0<ζ<1 を満たす。
したがって、0<c<2√(mk)、ωd<ωn となる。

振動工学 線形振動の基礎 〔参考ページ〕http://forth.aero.cst.nihon-u.ac.jp/lecture/vibration_engineering_2019.pdf

機械力学/問題3 専門科目 機械部門/これだけ項目集 3

1技術士 3専門 機械  H28-18
2自由度振動系の固有振動数

 質量 m の物体が、ばね定数 k1 のばねとばね定数 k2 の2本のばねで下図のように支持されている。このときの固有振動数を求める。

解答:418cba91a64b7844d05f479bdea47ad5 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

ばねの総合係数 k は、1/k = 1/k1+1/2k2 = (k1+k2)/2k1k2 である。
よって、k = 2k1k2/(k1+2k2) であるため、
固有振動数は、fn = 1/2π√(k/m) = 1/2π・√(2k1k2/(m(k1+2k2))) となる。

1技術士 3専門 機械  H30-18  H28-16  H23-16
2自由度振動系の2つの固有角振動数

 下図に示す2自由度振動系には、2つの固有角振動数が存在する。k をばね定数、m を質量で表したとき、2つの固有角振動数を求める。

 H30-18 の問題 7cfd3d4d8abdb526f312c23d22076d70 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

2自由度振動系の不減衰系の固有振動数は、次のように求める。
ω1^2
=1/2(((k+k)/m+(k+k)/m)+√(((k+k)/m-(k+k)/m)^2+(4k^2/(m×m))))
=3k/m
ω2^2
=1/2(((k+k)/m+(k+k)/m))-√(((k+k)/m-(k+k)/m)^2+(4k^2/(m×m))))
=k/m
したがって、2つの固有角振動数は、√(k/m)、√(3k/m) である。

自由度系の振動 〔参考ページ〕
http://omm.ishikawa-nct.ac.jp/ex/chapters/E_VpAAAA/

 H28-16 の問題 4f18871bb6dc45e43147f3894c2250e5 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

2mの変位をx1とし、質量をm1=2m、ばねをk1=2kとする、
同様にmの変位をx2とし、m2=m、ばねをk2=kとする。
運動方程式をたてれば、
m1 x1″=-k1x1+k2(x2-x1)、m2 x2″=-k2(x2-x1)となり、
x1=A1cos(ωt+α)、x2=A2cos(ωt+α)とすれば、
x1″=-ω^2×1、x2=-ω^2×2となるので、
上式に代入し、x1とx2の連立方程式が得られ、次式が得られる。
m1m2ω^4-(m1k2+k1m2+k2m2)ω^2+k1k2=0、
ここでm1=2m、k1=2k、m2=m、k2=kであるから、
2m^2ω^4-(2mk+2km+km)ω^2+2k^2=0から、
2つの固有角振動数は、ω^2 = √(k/2m)、√(2k/m) となる。

1技術士 3専門 機械  H29-19  H22-07
並進振動と回転振動の固有角振動数

 下図のように、質量 m、長さ 2a で断面積及び密度の一様な剛体棒が、両端をばね定数 k のばねで支えられているとき、この系が微小振動する場合の並進振動と回転振動の固有角振動数を求める。

解答: 49c40fd6b15d0ff01091ff6efea3dc30 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

並進運動でyだけ移動したとすると、剛体棒にかかる力はky×2=2kyとなるので、
このときの運動方程式は、m d^2y/dt^2+2ky=0となる。
並進振動の固有振動数は、√(2k/m) である。

回転運動でθ回転したとすると、回転による変位はa sinθ≒aθ。
この変位に対しばねの力は、k aθ=k aθとなるので、トルクTは、
T=k a^2θとなり、剛体棒全体として2T=2k a^2θのトルクが発生する。
回転の運動方程式は、Id^2θ/dθ^2+2k a^2θ=0となる。
この振動の固有振動数は、√(2ka^2/I)=である。
棒の慣性モーメントは、I=ma^2/3 となるので、
回転振動の固有振動数は、√(6k/m) である。

単振動 〔参考ページ〕
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannsinn.html

1技術士 3専門 機械  H27-18  H25-18  H20-12
2自由度振動系の振動数方程式

 下図に示す2自由度振動系の固有角振動数 ω を求めるための振動数方程式を求める。

解答: 2a93529d9b2c1c55ee851c65268472ce - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

上側のおもりの変位をx1、下側をx2とすると、この系の運動方程式は、
mx1″+kx1+k(x1-x2)=0、mx2″+k(x2-x1)=0である。
x1=A sinωt、x2=B sinωtとして、上式を整理すると、
(-ω^2A+(2k/m)A-(k/m)B)sinωt=0、
(-ω^2B―(k/m)A+(k/m)B)sinωt=0 となる。
(-ω^2A+(2k/m)A-(k/m)B)=0、―(k/m)A+(-ω^2+k/m)B=0となるから、
連立方程式で、A=B=0とならないためには、係数の行列式を0とすればよい。
したがって、ω^4-(3k/m)ω^2+(k/m)^2=0となり、
2自由度振動系のωを求めるための振動数方程式は、m^2・ω^4-3mkω^2+k^2=0

機械振動学 〔参考ページ〕
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/066711mkj.pdf

1技術士 3専門 機械  H26-22  H22-11  H22-22
ばねの合成ばね定数

 ばね定数 k1、k2、k3 のばねが下図のように配置されている。
k1=20N/m、k2=30N/m、k3=50N/m としたとき、
3本のばねの合成ばね定数を求める。

解答: 9512c8ef57c9e77e5be7f58c0a926955 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験
合成したバネ定数 k は、
k=1/((1/(k1+k2))+(1/k3))
=(k1+k2)k3/(k1+k1+k3)
=50×50/100 = 25 N/m

演習問題の詳細解 〔参考ページ〕
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/45.pdf

1技術士 3専門 機械  H29-21
ばねと滑車とおもり系の振動周期

 下図のように、ばね定数 k のばね、半径 a、質量 M の円板状の滑車、質量 M のおもり、及び質量が無視できるひもから成る系がある。このおもりは、つりあいの位置を中心に上下に振動することができる。このときの周期を求める。ただし、滑車とひもの間にはすべりがないとする。

解答: 4c5fe8ea5d7d71eaca963f143df924bc - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

おもりに掛かる張力をT′、ばねに掛かる張力をTとする。
おもりの変位をx、滑車の角度をθとすれば、
mg-T′=mx″、Iθ″=(T′-T)aの運動方程式を得る。
x=aθであるから、θ″=x″/a となる。I=1/2 Ma^2、T=kxから、
M x″=2(T′-T)を変形し、M x″=2(mg-m x″-kx)となるので、
x″=-((2k/(M+2m))x+2mg/(M+2m))
以上から固有振動数ωが得られ、周期は、2π/ωで与えられる。
振動周期は、2π・√((1/2・M+m)/k) である。

運動方程式 〔参考ページ〕
http://education.sakura.ne.jp/Physic/BTest/P3_EQmotion.pdf

1技術士 3専門 機械  H30-21
ばねと滑車とおもり系の固有角振動数

 下図に示すように、ばね定数 k1 のばね、ばね定数 k2 のばね、質量が無視できる動滑車、質量 m のおもり、及び質量が無視できるひもからなる振動系がある。このおもりが上下に振動する場合の固有角振動数を求める。
なお、重力加速度の大きさを g とする。

解答: 7f1921d4040f4ac1b65dad1d5f7acebc - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

ひもに掛かる張力をTとすれば、k2によるひもの長さの変化は、
T/k2、k1によるひもの長さの変化は滑車が動滑車であることから、
2T/k1×2=4T/k1である。
おもりmの変位をxとして運動方程式をたてれば、m d^2x/dx^2=mg-Tとなる。
変位xは、ひもの長さの変化であるから、k1,k2によるひもの長さ変化の和であるから、
x=T/k2+4T/k1であり、T=x×(k1・k2/(k1+4k2))となる。
したがって、d^2x/dx^2=g-x×(k1・k2/(k1+4k2))/mとなり、
固有振動数 ωn は、ωn^2=1/(k1・k2/m(k1+4k2)) となる。
この上下に振動する固有角振動数は、√(k1・k2/(m(k1+4k2))) である。

1技術士 3専門 機械  H29-16  H27-20  H24-21  H22-09
滑車のおもりが落下する加速度

 H29-16、H24-21 の問題 de1a4dfaf5fb930f5ba8efe41bb1a347 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図のように慣性モーメント I、半径 r の定滑車に質量の無視できる伸びないロープがまかれ、ロープの一端につけられたおもり(質量 m )が重力によって落下するときの加速度を求める。
ただし、定滑車は摩擦なく回転し、定滑車とロープとの間にすべりはないものとする。また、重力は図のように下向きに作用し、重力加速度を g とする。

解答:

加速度をαとすると、おもりの運動方程式から、
mα=mg-T である。
滑車のモーメント釣り合いから、I・dω/dt=T・r である。
滑車の回転に伴う接線方向の速度から、dx/dt=r・ωであるから、
d^2x/dt^2=α=r・dω/dt となる。
よって、T=dω/dt×I/r=I・r^2・αから、mα=mg-I/r^2・αとなり、
滑車のおもりが落下する加速度は、α = mr^2・g/(mr^2+I) である。

運動方程式 〔参考ページ〕
http://education.sakura.ne.jp/Physic/BTest/P3_EQmotion.pdf

 H27-20 の問題 c9b16e8b20185122e82079a541c9d814 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図のように、直径 D、質量 M の円板状の定滑車に質量の無視できる伸び縮みしないロープを巻き付け、その先端の質量 m のおもりが重力によって落下するときの加速度を求める。
ただし、定滑車は摩擦なく回転し、定滑車とロープの間にすべりはないものとする。なお、重力加速度は g とし、滑車の慣性モーメントは I=MD^2/8と表すことができるものとする。

解答:

加速度をαとしておもりの運動方程式から、mα=mg-Tである。
滑車のモーメント釣り合いから、I dω/dt=T×D/2である。
滑車の回転に伴う接線方向の速度から、
dx/dt=D/2×ωであるから、d^2x/dt^2=α=D/2 dω/dt となる。
よって、T=dω/dt×2I/D=4I/D^2 αから、mα=mg-4I/D^2 αとなる。
I=MD^2/8を考慮し、滑車のおもりが落下する加速度は、α=mg/(m+M/2) である。

1技術士 3専門 機械  H30-22
組合せて使用する等価ばね定数

 下図に示すように、同じばねを組合せて使用するとき、等価ばね定数が最大と最小となる組合せを求める。

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解答:

(ア) : 2k
(イ) : k/2
(ウ) : 1/(1/k+1/2k)=2/3 k
(エ) : k/2+k/2=k
(オ) : k/3+k/3=2/3 k
したがって、等価ばね定数の最大(ア)、最小(イ) である。

1技術士 3専門 機械  H24-22  H23-11
1自由度ばね-質量系の固有振動数

 以下の図の1自由度ばね-質量系の中で、最も固有振動数が高いものを求める。
ただし、すべてのばねのばね定数は等しく k とし、質量を m とする。

5216d7673d8060a9593442443b9d8c75 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

運動方程式は、md^2x/dx-2+kx=0となって、
固有振動数は、ωn=1/2π√(k/m) となり、
k が大きい系ほどの固有振動数が大きくなる。
したがって、合成したバネ定数を比較すればよい。
① : k
② : 2k
③ : 2k+1/(1/k+1/k)=(5/2)k
④ : k+1/(1/k+1/k)=(3/2)k
⑤ : k+1/(1/k+1/k)+1/(1/k+1/k)=2k
以上から、最も固有振動数が高いものは、③ である。

振動力学 〔参考ページ〕
http://ktlabo.cm.kyushu-u.ac.jp/j_old/tanimoto/Shindou-rikigaku.pdf

1技術士 3専門 機械  H27-16
両端支持梁のたわみと固有角振動数

 下図のように、長さ l の両端支持はりの中央に質量 m のおもりをのせたところ、はりの中央で h だけたわむことが分かった。はりの質量はおもりの質量に比べて十分小さいとしたとき、おもりがはりから離れないものとして、この系の固有角振動数を求める。ただし、重力加速度を g とする。

d2664b4e8bd372e5f658ad994a56c174 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

解答:

運動方程式は、mu″+ku=0 と表される。
固有角振動数は、ωn=√(k/m)である。
mg を乗せて h たわむことから、k=mg/hであるから、
この系の固有角振動数は、ωn = √(g/h) となる。

質点系の自由振動 〔参考ページ〕
http://wwwra.meijo-u.ac.jp/labs/ra007/murata/pdf/textbook/sindo_2005-1.pdf

1技術士 3専門 機械  H30-19  H28-20  H26-15  H23-18
微小振動と固有角振動数

 H30-19 の問題 b73ef578c4a9c1ac94488701847cfb46 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図に示すように、長さ L に対し直径が十分に小さい、一様密度かつ一様断面の質量 m の剛体丸棒がある。この丸棒の左端は回転自由支持され、右端はばね定数 k のばねで支持されている。
 この丸棒が微小振動するときの固有角振動数を表す式を求める。なお、回転自由支持されている左端点まわりの丸棒の慣性モーメントは 1/3・mL^2 である。

解答:
丸棒先端が x 移動したときの、角度変化をθとすると、
復元力は、-klsinθ×l≒-kl^2θ である。
モーメントの釣り合いから、Jd^2θ/dt^2=-kl^2θ。ここで、J=1/3 ml^2である。
Jd^2θ/dt^2+(-kl^2)θ=0 は振動方程式であり、
ωn^2=kl^2/J=3k/mとなる。
したがって、固有角振動数 ωnは、√(3k/m) である。

単振動 〔参考ページ〕
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannsinn.html

 H26-15 の問題 ee04ee0bdf6eca775d627d4e22e471a2 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図に示す、左端が回転自由支持され、右端に質量 m の質点が取り付けられた質量の無視できる長さ 2l の剛体棒が、左端から距離 l の点においてばね定数 k のばねで支持されている。この棒が微小振動するときの固有角振動数を表す式を求める。

解答:
棒の変位角をθとして、運動方程式を立てると、
Id^2θ/dt^2=-kl^2 sinθ-mg(2l) cosθ
I=mR^2であり、微小θでは、sinθ≒θ、cosθ≒1から、
d^2θ/dt^2=-(k/4m)θ-gkl/2
よって、固有角振動数は、ωn = √(k/4m) = 1/2√(k/m)

 H28-20 の問題 805f7e16da8b516f1e9763567829049f - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

 下図のように長さ l で一様な質量 m の細長い剛体棒が固定軸 O の回りを微小角 θ で振動する。重力加速度を g とするとき、この棒の固有角振動数を求める。

解答:

回転の運動方程式は、Id^2θ/dt^2=-mg sinθ×l/2、I=1/3 ml^2となる。
微小振動であるから、sinθ≒θとなるので、Id^2θ/dt^2=-(3g/2l)θである。
よって、固有角振動数は、ωn = √(3g/2l) である。

1技術士 3専門 機械  H28-21
アームの回転と速度ベクトル

 下図のように、アーム AB が鉛直面( XY 平面)内を角速度 ω で回転しながら、同時にアームの先端部がアームが長くなる方向に速度 v で動いている。アームが水平位置にある下図の瞬間において、先端の点Aの持つ速度ベクトル {vX vY} として、最も適切なものを求める。

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解答:
アーム先端は B を中心として、半径 r で回転している。
回転の円周方向は Y 方向であるので、vY=rω である。
また、X 方向は vX=v である。
したがって、点Aの持つ速度ベクトルは、{vX vY}={v rω}である。

基本的な機械要素演習 〔参考ページ〕
http://www.tetras.uitec.jeed.or.jp/files/kankoubutu/i-109-05.pdf

1技術士 3専門 機械  H27-19
ロープの支点反力、ロープ張力、反力角

 下図のように、一端が回転支持されて、他端がロープで支えられた一様な棒の先端に、質量 m のおもりを吊り下げる。ロープが水平と 30°の角をなすとき、棒と反力 R のなす角を θ とする。このとき、支点における反力 R とロープの張力 T 、反力 R のなす角 θ の組合せを求める。ただし、重力加速度は g とし、棒の質量は無視できるものとする。

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解答:
力の釣り合いから、T cos30°=R cosθ、Tsin30°=mg-R sinθ
支点のモーメントの釣り合いから、mgl=Tsin30°×l
以上の式から、T=2mg、R cosθ=√3mg、R sinθ=0 となる。(R≠0)
支点における反力 R = √3・mg
ロープの張力   T = 2mg
反力 R のなす角 θ = 0°

1技術士 3専門 機械  H26-21
ブレーキにより円筒に作用するトルク

 下図のように、摩擦ブレーキが回転している円筒に接触しており、摩擦ブレーキの支点 O と接触点 P と力 F の作用点 A は一直線上にある。円筒表面とブレーキの間の動摩擦係数を 0.3、点 0 からブレーキの接触点 P までの距離を 1000mm 、点 0 から点 A までの距離を 2000mm 、円筒の直径を 1000mm 、点 A に作用する力 F を 50N とする。ブレーキをかけることにより円筒に作用するトルクの値を求める。

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解答:

ブレーキがP点で円筒を押す力をP、円筒の摩擦力をfとし、
OP間の距離、AO間の距離をそれぞれl1、l2、円筒の半径をRとする。
力のつり合いとモーメントのつり合いから、
f=μP、F×l2=P×l1、F(l2-l1)=f×R
円筒に作用するトルクTは、
T=f×R=l2/l1・μF・R=2000/1000×0.3×50×(1000/2×10^-3) =15 Nm となる。

1技術士 3専門 機械  H29-20
単振動を行う振り子の振幅

 下図のように、長さ l の軽い糸の先に質量 m のおもりをつけた単振り子に、最下点で水平に v0 の初速を与える。ここで v0 が小さいとき、おもりの運動は鉛直面内の最下点付近に限られ、θ=Asin(ωt) と表されるような、最下点を中心とした単振動を行う。このとき角度の振幅 A を求める。ここで、θ は最下点からの角度、ω は角振動数である。また、g は重力加速度とする。

解答: a12498178e37ab5ebf3427a33bb4cb61 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

振り子の運動方程式は、d^2θ/dt^2=-g/l sinθ≒-g/l θから、ω=√(g/l)
θ=A sin(ωt)から、dθ/dt=ωA cos(ωt)、d^2θ/dt^2=-ω^2A sin(ωt)
t=0のとき、θ=0、v=v0であるが、このときに、dθ/dt=ω0とすれば、
ω0=ωA cos0=ωAとなる。
v0=rω0 であるから、ω0=v0/l より、
振り子の振幅は、A = ω0/ω=(v0/l)/(√(g/l)) = v0/√(lg) である。

単振り子 〔参考ページ〕
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannhuriko.html

1技術士 3専門 機械  H30-16
振り子の角速度

 下図のように、物理振り子の一端を回転軸として、点 O で摩擦なしに回転することができる。この振り子を水平に静止させて、静かにはなすと重力の働きによって回転し始める。この振り子が鉛直になった瞬間の振り子の角速度を求める。
 ただし、振り子の質量を m、重心を G、点 O から重心までの距離を a、最端点までの距離を b、その回転軸まわりの慣性モーメントを J、重力加速度の大きさを g とする。

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解答:

振り子の運動エネルギーは、角速度ωとして、1/2×Jω^2
鉛直になった時の位置エネルギーは、mgh(1-cos90°)=mgh
エネルギー保存則から、1/2×Jω^2=mghであるから、
振り子が鉛直になった角速度は、ω=√(2mga/J) である。

単振り子の運動(近似と微分方程式)〔参考ページ〕
https://rikeilabo.com/pendulum-movement

1技術士 3専門 機械  H28-22
電車の加速度と振り子の張力

 下図のように、電車が一定の加速度 α(>0) で減速し、車内につり下げられた質量 m の振り子が進行方向に 30°だけ傾いていたとする。重力加速度を g とするとき、電車の加速度 α と、振り子の糸に働く張力 T を求める。

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解答:

振り子の運動方程式から、T・cos30°=mg、 ma=mg・tanθ である。
したがって、
電車の加速度は、α=(1/√3)g、
振り子の張力は、 T=(2/√3)mg である。

1技術士 3専門 機械  H27-22
鉛直方向に飛ばす筒の角度

 台車が x 方向に一定の速さ V で進行している。この台車からボールを速さ v=2V で打上げ、地上から見て鉛直方向( y 方向)にボールを飛ばすための、筒の角度 θ を求める。なお、ボールの質量は台車の質量に対して十分小さいものとする。

解答: b0d306921e239df1ea4605b144bc53bd - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

ボールのt秒後の位置をx、ボールのx方向の初速度を Vt-v0sinθ とすれば、
v0=2Vであり、x=Vt-v0sinθ、 t=(V-2Vsinθ)tである。
どの時間でもボールが鉛直方向に見えるためには、常にx=0である必要がある。
よって、V-2Vsinθ=0 から sinθ=1/2 となる。
鉛直方向にボールを飛ばす筒の角度は、θ=30° である。

1技術士 3専門 機械  H28-15
駆動トルクがゼロとなる原動節回転角

 下図のクランク-スライダ機構 OAB のスライダ B に水平外力 F が作用しつつ、クランク OA が等速回転している。ただし、スライダ B は x 軸に平行に運動し、クランク長が R、コンロッド長が L、スライダのオフセット距離が H であり、さらに、機構のすべてのリンクの質量及びすべての摩擦は無視できるものとする。このときクランクの駆動トルク τ がゼロとなる原動節回転角 θ を求める。
ただし、L-R>H とする。

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解答:

スライダーはx軸を左右に運動する。
トルクがゼロとなるとき、スライダーの速度もゼロとなる。
それは、スライダーが最もx方向に延びたときと、最も縮んだときであり、
前者はRとLが直線になったとき、後者はLとRが重なったときである。
したがって、
直線となったときの角度は、
sinθ=H/(L+R)であるので、θ=sin^(-1) (H/(L+R)) となる。
LとRが重なったときの角度は、
sin(π-θ)=H/(L-R)から、θ=π+sin^(-1) (H/(l-R)) となる。

1技術士 3専門 機械  H30-20
円柱が転がり落ちる距離と時間

 下図に示すように、水平から角度 α だけ傾いた斜面に質量 M 、半径 r の円柱を置き、静かにはなす。そのときの時刻を t=0 とし、その位置から斜面に沿って下向きに測った距離を x とする。重力加速度の大きさを g とするとき、 x と t の関係式を求める。ただし、円柱はすべらずに転がり落ちるものとする。なお、中心軸周りの円柱の慣性モーメントは 1/2・Mr^2 である。

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解答:

摩擦力fとすると、Mg・sinα-f=Md^2x/dt^2となる。
fによる買い移転モーメントNは、N=rfとなるから、N=J・d^2α/dt^2=rfとなる。
αの時間変化とxとの関係は、x(t)=rα(t)であるから、
f=J/r^2 d^2x/dt^2=M/2 d^2x/dt^2となる。最初に求めたfを入れると、
Mg・sinα-M/2 d^2x/dt^2=Md^2x/dt^2から、d^2x/dt^2=2gsinα/3が得られる。
微分方程式を解いて、xとtの関係式を求めると、x(t) = 1/3・gt^2・sinα となる。

1技術士 3専門 機械  H26-20
円柱の並進の加速度

 下図のように半径 r、質量 m の円柱に質量の無視できるロープを巻き付け、ロープを張力 T で水平方向に引いて転がす。円柱と床の間には、滑りはなく摩擦力が作用する。このときの円柱の並進の加速度を求める。なお、並進の加速度は張力 T の方向を正とし、円柱の慣性モーメントは I=mr^2/2 である。

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解答:

円柱と床の摩擦力をFとすると、円柱の運動方程式は、md^2x/dt^2=T-Fである。
円柱重心の速度をvGとすれば、mdvG/dt=T-Fである。
円柱の重心まわりの回転モーメントのつり合いから、
I・dω/dt=rF となり、ここでvG=rωである。
dω/dt=1/r・dvG/dt から、F=I/r^2・dvG/dt-Tとなるので、
円柱の運動方程式に代入することで、dvG/dt=2T/(m+I/r^2)=4T/3mとなる。
円柱の並進の加速度は、4T/3m である。

1技術士 3専門 機械  H26-19
曲がった棒の支持点のモーメント

 下図のように曲がった棒の先端に力 F が作用している。この力 F によって発生する点 0 まわりのモーメントの大きさを求める。ただし、棒の変形は無視できるものとし、θ=45°とする。

解答: dec35f0c0a79bb47f18c9c9b46609309 - 3 機械力学/問題3 専門科目 機械部門/技術士第一次試験

Fのx方向成分は Fx=F sinθ、y方向成分は Fy=F cosθである。
Fxによるモーメントは、Fx×l、Fyによるモーメントは、Fy×2Rとなる。
曲がった棒の支持点まわりのモーメントは、
Fx×l+Fy×2R = 1/√2・LF+√2・RF である。

1技術士 3専門 機械  H25-19
円板の重心の座標

 下図に示すように、厚さ 5mm、半径 200mm の円板に、200×100mm の長方形の穴が左右対称に(図ではy軸に対称に)空いている。図中の座標系原点 0 は円板の中心に一致している。
この穴が空いている円板の重心Gの x,y 座標の組合せ(xG,yG)[mm]を求める。

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解答:

長方形の穴部分の重心をOからyの距離にあるとし、マイナスの質量W2があると仮定する。
穴が開く前の重心はO点で、質量がWであるから、重心の公式を適用する。
yG=(W×0+(-W2))×y/(W+(-W2))=W2y/(W-W2)
ここで、W=πr^2t×ρ=3.14×200^2×5×ρ、W2=200×100×5×ρ、y=50より、
yG=200×100×5×ρ×50/(3.14×200^2×5×ρ-200×100×5×ρ)=9.5
xG は明らかに y 軸上にあるから、0 である。
円板の重心Gの座標は、(xG,yG) =( 0,9.5 ) となる。

1技術士 3専門 機械  H25-20
ロータの一体化後の角速度

 図a に示すように、2つのロータ1及びロータ2が同じ軸まわりにそれぞれ角速度 ω1=50rad/s 及び ω2=30rad/s で回転している。ロータ1及びロータ2の回転軸まわりの慣性モーメントはそれぞれ I1=1kg・m^2 及び I2=3kg・m^2 である。その後、図b に示すように、ロータ1を軸方向に移動させて2つのロータを瞬間的に一体化した。一体化後の角速度 ω[rad/s] を求める。

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解答:

角運動量保存則から、I1ω1+I2ω2=(I1+I2)ω
ロータの一体化後の角速度 ω=(I1ω1+I2ω2)/(I1+I2)=(50×1+30×3)/(1+3)
= 35 rad/s である。

1技術士 3専門 機械  H25-22
回転するロータの軸受に働く力

 下図のように、2点 A、B の軸受により支えられている質量 M、偏心量 ε のロータがあり、角速度 ω で回転している。AB 間の距離を l とし、点 A に対する重心の軸方向位置を a で表すとき、点 A の軸受に働く力を求める。

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解答:

偏心量εにより遠心力が起きる。遠心力をFとすれば、ロータの角速度から回転数Nは、
N=30ω/πであるから、F=Mε(2πN/60)^2=Mεω^2となる。
A軸受、B軸受の反力をFA,FBとすれば、
力のつり合いおよび重心まわりのモーメントのつり合いから、
FA+FB=Mεω^2、FA・a=FB・(l-a)
以上から、FA = Mεω^2/(1+a/(l-a)) = (l-a)/l・Mεω^2
軸受に働く力は、F=(l-a)/l・Mεω^2 である。

1技術士 3専門 機械  H24-19
細い棒の慣性モーメント

 長さが L、質量が m の細い棒について、棒の長手方向に垂直で棒の一方の端を通る軸に関する慣性モーメントを求める。
なお、棒の密度は一定であり、太さは無視できるものとする。

解答:
棒の端から x の箇所の dx の部分では、質量は M・dx/Lとなる。
軸に関する慣性モーメントは、
I = ∫(0→l)x^2・M/L・dx = M/L∫(0→l)x^2・dx = mL^3/3 となる。

メカトロニクス基礎 (振動学・解析力学) 〔参考ページ〕
http://stlab.ssi.ist.hokudai.ac.jp/yuhyama/lecture/mechatronics/%E3%83%A1%E3%82%AB%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%AF%E3%82%B9%E5%9F%BA%E7%A4%8E(%E5%B1%B1%E4%B8%8B).pdf

機械力学/問題3 専門科目 機械部門/過去問からの出題傾向

技術士第一次試験/問題3 専門科目 機械部門

◎は、予想が的中したものです。

重点予想 H30 H29 H28 H27 H26 H25 H24
◇ 機械力学
 縦振動を表す運動方程式
 横振動梁の支持条件
 横振動梁の境界条件
 おもりの回転角速度と糸の長さ
 機械の振動
 振動系における減衰
 共振の特性
 ねじの原理の図
 1自由度振動系の周波数応答線図
 1自由度振動系の減衰係数
 1自由度振動系の変位と時間
 2自由度振動系の固有振動数
 2自由度振動系の2つの固有角振動数
 並進振動と回転振動の固有角振動数
 2自由度振動系の振動数方程式
 ばねの合成ばね定数
 ばねと滑車とおもり系の振動周期
 ばねと滑車とおもり系の固有角振動数
 滑車のおもりが落下する加速度
 組合せて使用する等価ばね定数
 1自由度ばね-質量系の固有振動数
 両端支持梁のたわみと固有角振動数
 微小振動と固有角振動数
 アームの回転と速度ベクトル
 ロープの支点反力、ロープ張力、反力角
 ブレーキにより円筒に作用するトルク
 単振動を行う振り子の振幅
 振り子の角速度
 電車の加速度と振り子の張力
 鉛直方向に飛ばす筒の角度
 駆動トルクがゼロとなる原動節回転角
 円柱が転がり落ちる距離と時間
 円柱の並進の加速度
 曲がった棒の支持点のモーメント
 円板の重心の座標
 ロータの一体化後の角速度
 回転するロータの軸受に働く力
 細い棒の慣性モーメント
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 問題3 専門科目 機械部門
過去問と解答速報『資格試験_合格支援隊』
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